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Vektorgeometrie lineare Algebra Zusammenfassung /Lernzettel Abitur
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Zusammenfassung fürs Abitur 2021/ Oberstufe Gymnasium (baden-württemberg)
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Von Hannah Lachen maier 1316..„.i÷÷÷:
vektorgrafik
Äußere
•
Gegen vektoren :
Addition :
↳
Eindeutigerer 4 Addition erfolgt komponentenweise IN DREI DIMENSIONEN
jeder Komponente ä
(G) f) =/ ! ! ! !!)
↳ in
=
. +
Vorzeichen vertauschen
= ä .
) ↳
Verbindungsvektor : ( bzw .
Richtung > vektor )
'
4 die Differenz von zwei Ortsvektoren
Ä
"
z a
p
-
-
=
I ^
Skalar multiplikativ :
/ 4 Spitze
③ D8 088
-
Fuß \
.
.
4 Vektoren können mit reellen
f- 1 -
n
2
•
"
: : : : : : "
÷ .
4 P ( Xs 1×21 )
4 hat die Länge o jeder Vektor hat eine
Länge ,
4 × }
3
4 einziger Vektor ohne
Richtung 4
( ¥! )
Boden :
xnxz
-
Ebene
i z
¥ (§ )
-
,
_
=
×
=
4 Xs
-
Achse ist um z verkürzt
und liegt im 450 Winkel nach
vorne links
+1 -
3 -
DREI KOORDINATEN EBENEN
1) Parameter form : # =
¥ t rü tsv Iris C- IR
xnxz Ebene : # =
ist ! )
MITTELPUNKT
-
* X3
-
Ebene : # =
ts ( %)
(% )
einer
Ö Ä ¥
Gfgeecfzln
sind heißt Xzx } Ebene :
r
+
gegeben s
=
zwei Vektoren und die Summe
-
, so
r . Ö t s '
Ä i r , s ER Linearkombination von Ö und Ä 2) Normalen form :
E :
( ¥ ¥) #
-
.
=
0
Zwei Vektoren Ä und Ä sind / heißen linear
abhängig wenn einer ×, Xz
-
Ebene : ¥ ( §) - =
0
) ÖÄ { ( ÖÄ
,
Ä Ä) ^
= + ÖÄ ) ¥ /! )
der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist ( =
r ×, ×} -
Ebene : .
=
0
linear
abhängig =
parallel Xzx }
-
Ebene :
¥ ° =
0
2) OTÜ =
ÖÄ t E •
ÄÄ 3) Koordinaten form :
Überprüfung bei Krummen Zahlen : LGS ( es muss 3 × selbe Zahl rauskommen )
×, Xz
-
Ebene :
Xs
=
O
Xs X3 Ebene
0×2×3
-
: =
xz
-
Ebene :
× =
0
,
, umrennen
EBENEN & GERADEN
lage von zwei Geraden
Gerade aufstellen die zwei Punkte
durch geht :
( A und B) Gibt es ein r ? ( vielfaches )
1) ÄÖ berechnen ( Ü ö)
-
2) ÄÄ länger machen
„
"
( r . ÄB ) -4
beliebige Variable Nein Ja
3) r . ATÖ im Raum festbinden "
mit Ortsvektor (
→
OA t r ' ÄB ) ; überkreuzt oder
anders
liegend
d parallel oder
„
identisch
4) vollständige Gerade : = ÖÄ t r . ÄB ; r c- IR
d linear
unabhängig ! Linear
abhängig
Frage liegt : Punkt auf Geraden ?
Punkt probe
gleichsetzen
1) P
gleichsetzen mit Gerade
"
→ "
2) „ LGS kommt für r drei mal das
gleiche raus : P
liegt auf Geraden
lösbar
„
Lösbar Nicht lösbar Nicht lösbar
; schneiden sich und h sind
4g und h sind d p liegt nicht
Welcher weiterer Punkt 4g
liegt auf Geraden ? windschief identisch auf h
4 parallel &
1) Zahl die man für r raus bekommen hat in
Gleichung einsetzen verschieden
↳ Vektor ist dann Pz
^
X3
xzxs Ebene
skalarprodukt
-
>
ergibt immer eine reelle Zahl !
> :
=L:) ¥:) - %: "- .
>
Orthogonalität überprüfen :
kreuzprodukt
(¥!)
zwei Vektoren sind
orthogonal ( senkrecht) ,
Xnxz
-
Ebene wenn dessen Skalarprodukt o ist = > kommt immer ein Vektor raus !
→ →
a b =
0
,
× ?
>
Verwendung Berechnung
: eines dritten
Vektors ; Flächeninhalt
> n -
Vektor bestimmen : steht immer
Berechnung
senkrecht zur Ebene
P ( 01×21×3 ) auf xzxg
-
Ebene ; ü =
o und ¥ . # =
o
> Schreibweise axb
bei
)
.
Er }
| !!!!
' axb azbs -
a
} bz
bz
=
| LOS anwenden um n zu ermitteln : / =
( Xnl 01×3 )
!!
P auf 4×3 Ebene
! b}
-
.
man , nzaz + nsa }
=
o
^
an bs
→
P ( Xs / Xz / O ) auf Xy Xz
-
Ebene
°
Mbr + nzbz + nsb 3=0
T
az bz
b
ab 3
→ >
P ( ×, 1010 ) auf xn -
Achse
Länge eines Vektors bestimmen :
erste &
letzte Zeile
" tat ?
P ( 01×210 ) an tata
e-
M → auf Achse
= ?
werden raus
xz
- -
}
gestrichen !
>
Winkel zwischen zwei Vektoren :
4 costa) Ä Ä
)
.
( TR
=
auf D !
Iäl .
,
Xs X3 -
Ebene
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