Mathematik für Physiker 3
ANALYIS 2
Technische Universität München
Physik B.Sc.
, I. METRISCHE RÄUME
DEFINITION Eine d M M [0 )
Funktion o
heißt Metrik auf der
Menge M,
: →
x ,
Wr alle
/ wenn z EM
gilt :
x.
y ,
i) dlx y ) 0 < ⇐ Definit heit
y
=
,
Jeder Unterraum
eines metrischen Raums ii ) d ( X
y ,
) =
dly ,
x )
Syreetrie
ist metrischer Raum !
(×
ein
iii) d z ) dlx y ) dly )
,
<
,
+
,
z Dreiecks
Ungleichung
Das Paar ( M d) , heißt metrischer Raum .
BEMERKUNG .
Im Allgemeinen gibt es
Teilmengen ,
die weder offen noch
abgeschlossen sind ( Ca ,
b) )
( a b) keine
•
,
ist
Umgebung von a .
ES stets i) M und 0 sind offen
gilt
• :
ii ) ist offen
Durchschnitt zweier offener
Mengen .
iii ) Vereinigungen bel .
vieler offener
Mengen sind offen
Menge )
"
)
•
Eine von
Teilmengen von M ,
die i -
iii erfüllen , heißt Topologie
„
•
Der Durchschnitt b- vieler offener
Mengen ist nicht
notwendigerweise wieder offen ,
C- Er E)
z.B .
¥ ,
=
To }
DEFINITION Sei 1M d) ,
ein metrischer Raus und UEM .
| .
OK : =
Exe MIKE > 0 :
Bett ) n U #
On Bee CH n ( Mdk) * 0 }
Die leere Menge heißt Rand von
U .
{ f- 0 ist offen ! .int/UI:--fxeUIU ist
Umgebung von × }
U ( auch W )
heißt das Innere von
geschrieben
•
BECX ) : =
fy E M I d ( x. y
) <
E } heißt E-
Umgebung
heißt JE > Bek ) EU
U EM
Umgebung von XEM 0 :
•
,
wenn
LEMMA sei ( M d) metrischer Raum und UEM
ein Dann
gilt
:
,
.
}
i) UIOU ist offen und
relativ voneinander !
unabhängig
iil du da ist
abgeschlossen
BEWEIS i ) Jedes XEUI DU offene VEU besitzen Andernfalls
Umgebung
:
muss eine .
Rand punkt dann enthielte des
wäre x von U .
Wäre
yevn du ,
V als
Umgebung
Rand punktes y auch Punkte Min VEU Also ist xev Und U
was
widerspräche
←
von , .
ii ) Uc ( Wto Chi ) ) !
'
sei Mich das
Komplement U in M
Wegen i ) ist U ) d CK ) offen also
: =
von
,
.
U Olli ) Uudcu )
abgeschlossen
= =
u .
DEFINITION
[ Missachtung
Sei CM ,
d) ein metrischer Raum und UEM .
sein
•
xe M heißt Häufung punkt ,
wenn jede Umgebung von × mindestens einen von × verschiedenen
Punkt aus U enthält .
Wir schreiben acc ( U) : = Exe M I X ist
Häufung punkt von U }
•
× EU heißt isolierter Punkt von UEM ,
wenn xtacc CU)
Rand sind !
punkte immer
Häufung punkte
[ EMMA CM d) und
sei ,
ein metrischer Raum AEM
abgeschlossen ,
!
dann gilt acc CAIEA
'
BEWEIS A- tx # A Vs A
Da offen ist
gibt es
Umgebung V dass
:
, eine ,
so =
Damit ist × # acc CA )
,SATZ sei CM .
d) ein metrischer Raum und UEM ,
dann ist Ü der Abschluss von U .
Ü : =
TXE M I J ( x
„
EU )
ne
:
Xn -
>
X } (
Menge von Grenzwerten /
Berührungspunkten )
:-. U u du LU Mit Rand )
'
-
=
1 { A- c- MIA abgeschlossen n A- ZU } ( kleinste abgeschlossene
Menge ZU )
( k)
: = U u acc (U mit
Häufung > punkten)
BEWEIS : i ) Da du ÖU
abgeschlossen ist und UE Und U ,
gilt
sicher UUOU z 1 EHEM IA abgeschl .
n
A- ZU }
ii ) dann VNEN G) 0
Ist XE U voll ,
gilt :
B *
n U # .
D. h .
es
gibt
) U U
Folge B ( die
gegen konvergiert also
eine xn E x n in ×
× . , ,
{ XEM I I ( xn EU ) n e .
:
xn → × } ? U u SU .
iii ) Ist x ein Berühr punkt von U ,
dann ist entweder XEU ,
oder xt acc Ch) ,
d. h . U u acc LU ) z Ex EM 17 Cxn C- UI ne
:
Xn → × }
iv ) Da V : =
A THEM I A abgesahnt .
n A- ZU } abgeschlossen ist und damit acclv ) EV gilt mit UEV :
✓ =
Vu acclv ) ZU acc
( m)
u
o
DEFINITION Ist Ü = M , dann heißt U dicht in M
BEISPIEL .
ist dicht in R
°
ln ( C ( [ a. BI ) ,
Hello ) liegt die Menge der Polynome dicht ,
d. h .
fur jedes f E C ( [a. b ] ) existiert eine
Folge von Polynomen ,
die auf [ a. b ]
gleichmäßig gegen f konvergiert ( Bolzano -
Weierstraß )
For ( ) da ( Kab ) ) unbeschränkte Funktionen beinhaltet
C ( b)
gilt dies nicht
•
a.
, ,
wogegen Polynome auf endlichen Intervallen stets beschränkt sind . . .
BEMERKUNG :
Int CU) EU ± Ü = ( Int Cat u GU ) ,
sowie du = ÜI Int ( n )
DEFINITION Eine
Teilmenge K eines Metrischen Raumes heißt folgen kompakt ,
wenn jede Folge × : IN →
K eine in F
konvergente Teil folge besitzt .
"
Folgen Kompaktheit
BEMERKUNG Räume
äquivalent
"
: Da for metrische
zur
topologischen Definition
"
der
Kompaktheit ist ,
folgen kompakt
"
werden wir im Rahmen metrischer Räume
meist lax "
kompakt
"
nennen .
KOROLLAR K M
Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raums ist
abgeschlossen .
Sei IN
Wegen Kompaktheit
BEWEIS K M mit Grenzwert y
X
konvergente Folge
:
>
eine in
: -
.
K
existiert eine Teil folge ,
die in
konvergiert .
Da der Grenzwert derselbe sein muss ,
gilt yek
und somit E- E •
ERINNERUNG
"
"
beschränkt ttx y EU dlx ) EC
:
U heißt ,
wenn es ein < ER gibt ,
so dass ,
:
, y
) ER
"
( IK ¢} UEIK
"
SATZ In II. II mit IK für
gilt
: E :
, ,
U und beschränkt
U ist
folgen kompakt ⇐> ist
abgeschlossen .
( Heine -
Borel)
, "
"
BEWEISSRIZZE Abgeschlossenheit folgt Korollar
>
U nicht
=
aus Wäre
:
vorigem
:
.
beschränkt dann gäbe EU llxnll
Folge
>
,
es eine xn mit n ,
was
"
"
keine
konvergente Teiltolge zuließe .
"
K
wegen Beschränktheit
⇐
K
sei × IN existiert eine in
konvergente
: : →
.
Teilfolge
( Bolzano -
Weierstraß ) .
Da U
abgeschlossen ist
,
ist der Grenzwert
in U enthalten
" "
BEMERKUNG :
Für
jeden Metrischen Raum
gilt
:
kompakt = >
abgeschlossen +
beschränkt
LEMMA Ist M ein
kompakter metrischer Raum und AEM
abgeschlossen ,
dann ist auch A kompakt .
BEWEIS :
Sei × : IN →
AEM eine
Folge .
Da M
kompakt ist
,
existiert eine in M
konvergente
Teil
folge yu
=
Xncu, mit
yu
→
y
c- M .
Da A
abgeschlossen ist ,
gilt yt A .
o
DEFINITION Sei f ( x dx ) und CY da, )
Y eine
Abbildung metrischen Räumen
→
:X zw .
, ,
• f
heißt stetig bei ae X , wenn KE > 07 d
>
0 :
f ( Boca) ) E BE ( feat )
fb d× (a )
< :
, b) <
d = >
dy ( fca) , Hb ) <
E
f heißt f für alle X
•
stetig , wenn stetig ist a c- .
f f ( Bo Ca) ) BE ( fca ) )
•
heißt gleichmäßig stetig ,
wenn FE > OJE > Ota c- X : E
•
f heißt Lipschitz stetig mit Lipschitz konstante LE Rt ,
wenn t a
,
b E X :
dy ( fca) ,
Hb) ) t
L .
dx ( a b) ,
BEMERKUNG :
Verknüpfungen stetiger Funktionen sind
stetig
SATZ Für eine
Abbildung f:X →
Y zwischen metrischen Räumen sind äquivalent :
(i ) f ist stetig
(ii ) AXE X und H kn E X ) neu mit *
→
×
gilt ein fan) =
flx )
n -
so
EY offen ( U)
^
(iii) U = >
f- E X offen
AE abgeschlossen
"
( ir ) Y f- CA ) s X
abgeschlossen
= >
Forf stetig , gilt :
( Äquivalente
Charakterisierungen von
Stetigkeit) ¥%fN=fC¥sx
BEWEIS :
( i) ⇐ >
( ii ) :
Analysis I
Iiii ) f- ( YIA ) f- TY ) (A)
" "
(N ) f- (A)
Sei
XI.fi#J
' '
l
AE Y abgeschlossen also A offen ist f-
= > :
Dann = =
=
, .
offen nach
abgeschlossen .
( iii )
( iv ) ( iii ) :
analog
)
'
(i ) ( iii Sei f UEY offen und f- CU ) d. h flx ) EU dass
stetig Wähle
>
=
:
xe E >
0 so
,
,
.
,
BE ( FCH ) E U E >
weil U offen . . .
) und d >
0 so ,
dass
f ( Bor (D) <
Be ( FCH ) ( -
→ weil f
stetig . .
.
) ,
))
"
dann ist f ( Br ( x E U ,
also f ( U ) ?
Bo ( x ) offen .
X ) f
"
( Be Aus ) ) Damit existiert 8>0
( iii ) = >
( i) : Sei XE und E> 0 .
Wegen iii ist offene
Umgebung von × .
ein ,
f- ( Be ( FG ) ) )
"
so dass Bs (x ) ± .
Also f ( Bo ( x ) ) E
BE ( FCH ) o
DEFINITION Seien ×, y metrische Räume ,
Eine
Abbildung f :X Y heißt Homomorphismus sie bijektiv und sowohl
>
wenn
• -
,
"
f- auch f
als
stetig ist .
°
X und Y heißen honöomorph ,
wenn es einen
Homomorphismus f :X → Y
gibt .
BEISPIEL :
C- 1,1 ) und R sind homomorph ,
da C- 1,1 ) > X Es tun ( x E) ER ein Honöom .
ist .
