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Maschinendynamik -Aufgaben und Lösungen
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Aufgaben inkl. ausführliche Lösungen im Bereich Maschinendynamik
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Bemerkung: Alle Übungsblätter Quelle: TU Bergakademie Freiberg /Institut fürMechanik und Fluiddynamik/ Prof. Dr.-Ing. Ams
, Maschinendynamik I-Inhaltsverzeichnis
1. LAGRANGEsche Gleichungen für ebene Scheibensysteme mit mehreren S.3
Freiheitsgraden
2. Ungedämpfte Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden S.21
3. Relativmechanik S.33
4. Bewegungsgleichungen des starren Körpers für räumliche Bewegungen S.43
(Kreiseltheorie)
5. Stabilität zeitinvarianter dynamischer Systeme Methode der S.54
ersten Näherung
6. Ersatzsysteme S.69
,Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Prof. Dr.-Ing. Ams
Maschinendynamik
WS14/15
Übungsblatt 1
Thema: LAGRANGEsche Gleichungen für ebene Scheibensysteme mit mehreren
Freiheitsgraden
Ziel: Aufstellen der Bewegungsgleichungen
LAGRANGEsche Gleichungen
d L L E kin = kinetische Energie des Gesamtsystems
Qk k 1, 2,, n
dt q k q k E pot = potentielle Energie des Gesamtsystems
L E kin E pot = kinetisches Potential
qk = k-te generalisierte Koordinate
q k = k-te generalisierte Geschwindigkeit
Die Bestimmung der generalisierten Kräfte Qk erfolgt mit Hilfe der virtuellen Arbeit W , der im
kinetischen Potential L nicht berücksichtigten N potentiallosen Kräfte Fi und der Z potentiallosen
Momente M j entlang ihrer virtuellen Verschiebungen bzw. Verdrehungen:
N Z n i 1, 2,, N
W Fi ri M j j Qk qk j 1, 2,, Z
i 1 j 1 k 1
k 1, 2,, n
i .a. N n
ri
mit ri qk und j j qk
k qk k qk
Anmerkung: Die n generalisierten Koordinaten q k beschreiben somit den Systemzustand vollständig
und müssen demzufolge voneinander unabhängig sein.
1
, Institut für Mechanik und Fluiddynamik Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Prof. Dr.-Ing. Ams Prof. Dr.-Ing. Ams
MD 1.1 MD 1.2
Das dargestellte System besteht aus zwei Zahnrädern, zwei baugleichen horizontal Ein im Schwerefeld der Erde schwingendes Doppelpendel besteht aus zwei gelenkig
beweglichen Zahnstangen (Länge 2l, Masse m ) und einer mit der Umgebung fest gelagerten Stangen mit den Längen l1 und l2, den Massen m1 und m 2 sowie den Massen-
verbundenen Zahnstange. Die beweglichen Zahnstangen sind mit einer Feder trägheitsmomenten JS1 und JS 2 . Zwischen der Stange 1 und der festen Umgebung befinden
(Federkonstante c ) und einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer (Dämpferkonstante sich ein Drehdämpfer b1 und eine Drehfeder c1. Der Drehdämpfer b2 und die Drehfeder c2
b ) miteinander verbunden. Ihre Bewegungen werden mit den Koordinaten uS1 bzw. uS 2 sind zwischen den beiden Stangen befestigt. Für 0 sind die Drehfedern entspannt.
beschrieben. Zahnrad 1 ( r1 r , m1 m ) ist reibungsfrei drehbar gelagert, die Drehbewegung
wird mit dem Winkel erfasst. Die Bewegung von Zahnrad 2 ( r2 2r , m2 4m ) wird mit
den Koordinaten und w beschrieben. Zur Berechnung der Massenträgheitsmomente
können beide Zahnräder als Kreisscheiben betrachtet werden. Am Zahnrad 1 greift das
äußere Moment M1 t an, im Schwerpunkt von Zahnrad 2 wirkt die Kraft F t . Für
uS1 uS 2 w 0 ist die Feder entspannt.
1) Man stelle die Ortsvektoren rS1( ) und rS 2 ( , ) zu den Stangenschwerpunkten S1 und
S 2 im ortsfesten x, y – Koordinatensystem auf und berechne die Schwerpunkts-
geschwindigkeiten v S21 und v S2 2 .
2) Man ermittle die kinetische Energie E kin und potentielle Energie E pot des Systems und
gebe die virtuelle Arbeit W der potentiallosen Kräfte an.
3) Mit den LAGRANGEschen Gleichungen berechne man die Bewegungsgleichungen in den
1) Man bestimme die kinematischen Beziehungen uS1( ) , uS 2 und w .
Koordinaten und .
2) Man gebe für die gezeichnete allgemeine Lage des Systems die kinetische Energie
4) Mit Hilfe eines Computeralgebrasystems berechne man für die Parameter
E kin , die potentielle Energie E pot und die virtuelle Arbeit W der potentiallosen
N
m1 100 kg , m2 10 kg , l1 1m , l 2 2m , J1 5kg m 2 , J 2 2kg m 2 , c1 15 ,
Kräfte in Abhängigkeit von , ,, , , an. m
und für die Anfangsbedingungen t 0 0,2 rad ,
3) Man berechne mit Hilfe der LAGRANGEschen Gleichungen die beiden N Ns Ns
c2 3 , b1 0,1 , b2 1
m m m
Bewegungsgleichungen in den Koordinaten und .
t 0 0,4 rad , t 0 t 0 0 die Zeitlösungen t und t des
nichtlinearen Differentialgleichungssystems und stelle diese grafisch dar.
2 3
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