Die Ordnung von G ist die Kardinalität der Menge G und wird mit Eine Gruppe ist eine nichtleere Menge G mit einer Verknüpfung ◦, die
|G| bezeichnet. Ist |G| endlich, so ist die Ordnung von G die Anzahl der zwei Elementen aus G ein Element aus G zuordnet: ◦ : G × G → G mit
Elemente in G. Im anderen Fall ist die Ordnung von G unendlich. folgenden Eigenschaften:
1. ∀ a, b, c ∈ G : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (Assoziativität)
2. ∃ e ∈ G : ∀ a ∈ G : e ◦ a = a (Existenz eines links-neutralen
Elementes
3. ∀ a ∈ G : ∃ b ∈ G : b ◦ a = e (Existenz eines links-inversen Elemen-
tes)
Das inverse Element zu a wird mit a−1 bezeichnet.
Eine Gruppe mit a ◦ b = b ◦ a für alle a, b heißt kommutativ bzw. Abelsche
Gruppe.
#4 Antwort #3 Antwort
Die Gruppe der Permutationen von n Elementen wird mit Sn bezeichnet Die bijektiven Abbildungen einer endlichen Menge auf sich selbst nennt
(exakt (Sn , ◦)). man Permutationen.
,Lineare Algebra #5 Gruppen Lineare Algebra #6 Gruppen
Wie ist die Untergruppe U einer Gruppe G Welche Ordnung hat die Gruppe Sn?
definiert?
Eine Permutation einer n-elementigen Menge lässt sich auf n! ver- Sei (G, ◦) eine Gruppe und U eine nichtleere Teilmenge von G, so dass
schiedene Arten festlegen: Für das Bild des ersten Elements hat man n (U, ◦) auch eine Gruppe ist. Dann heißt U Untergruppe von G.
Möglichkeiten, für das zweite noch n − 1 Möglichkeiten usw. Schließlich
bleibt für das Bild des letzten Elements nur noch eine Möglichkeit übrig.
Die Gruppe Sn hat somit die Ordnung n!.
#8 Antwort #7 Antwort
Sei U eine Untergruppe von (G, ◦). Dann sind die Familien {x · U |x ∈ G} Die alternierende Gruppe An ist die Menge aller geraden Permutationen
und {U · x|x ∈ G} Partitionen von G. Diese nennt man Links- bzw. Rechts- von n Elementen. Das ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe.
nebenklassen. Die Anzahl dieser Nebenklassen heißt Index [G : U ] der
Untergruppe. U heißt Normalteiler, wenn Links- und Rechtsnebenklassen
übereinstimmen.
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