Mengen Zusammenfassung bestimmter wohl unterscheidbarer ein Element
→
= ordnet jedem Element ✗ c- ☐
yt 2- zu
monoton wachsend f / ✗ 1) HK )
-
Ganzen
wenn ≤ für alle ✗ ✗ ED mit ✗ < ×,
Objekte ZU einem
Definitions menge
•
„ z
,
f D=
]
: D z
2- = Ziel Menge
• monoton fallend wenn
f- ( ✗ n ) ≥ f- ( Xz) für alle ✗ „ ✗ z ED mit × ,
> ✗ z
flx ) y wachsend f ( ✗ 2) für alle ✗ „ ✗ ZED mit
✗
-
streng f- ( ✗ e) < wenn
-
•
monoton Xr ✗
{ 31619 }
<
Elemente : Einzelne Objekte einer Menge - M =
* monoton fallend wenn f- ( ✗ ) > flxz ) für alle ✗
z
der Funktion f
•
streng 11×2 ED mit ^
✗ e > xz
✗ =
Argument • beschränkt , wenn es eine Zahl C ER gibt , sodass IHN / ≤ c für alle ✗ ED
Mengen durch
Angabe von =
Bild von ✗ unter f →
eindeutig bestimmt
tun => Beschränkung → f Über / unterschreitet diese nicht
•
vollständige Aufzählung
M :
{2%20121}={2%20} =
Urbild von
y unter f → nicht
eindeutig bestimmt
gerade wenn flx ) fl x ) achsen symmetrisch
unvollständige Aufzählung :{ 11213 } nicht eindeutig ↓ =
→
-
M
•
→
. . .
•
Es kann ZU einem YEZ
Angabe von Eigenschaften p, {✗ } ungerade wenn f- ( x ) FC x) → Punktsymmetrisch Zum Ursprung =
-
Ep :O
• • -
≥g
=
× ^ Urbild kein Urbild
periodisch und f- ( ✗ FCH
•
1
( mit Periode L / periodisch) wenn D= IR + L)
-
mit der • L - -
Oder mehrere geben ,
Eigenschaft ßsp .
sinus / cosinus
Mengen von Zahlen Definitions Menge : x -
Werte ( alle Werte , die man für ✗ einsetzen kann)
Intervalle für f- ( x ) dummen Und Produkt Zeichen
Ziel menge y Werte ( Wertemenge ; EIN an EIR
was alles
-
n an
rauskommt , wenn
: -
, . ..
µ =
natürliche Zahlen =
{ 1,2 } } , . . .
[ab] :
{ ✗ EIR a ≤ ✗ ≤ b } geschlossen man jede Zahl aus der Definitions Menge einsetzt ) Summe :
produkt :
Nö natürliche Zahlen mit 0 Bild Menge :
alle Werte, die möglich sind Z n
{✗ } offen y
-
n
( ap ) ER a < ✗ < b
[ ai
:
Zahlen E. 1,011 }
.
Bild Menge Um +
Um -11
.
z
=
.
ganze an
= . .
-1T
. ..
=
.
→ = am .
am -11 .
an
rationale Zahlen
{f- PER , q
. .
} [aib ) Laib ] halboffen
.
④
{ ED :-( ( ) Ey } für dieR
" M
-
EIN
M Man setzt f- ( y ) I
-
=
Menge aller Urbilder
:
,
= ✗ x
Menge aller Dezimal zahlen
=
↳ reelle Zahlen Fakultät :
Bsp 5 ! = 1 .
2 .
3 .
4.5
Eigenschaften
.
Beziehungen Zwischen Mengen
jedem Wert höchstens 1 Wert →
Rechenregeln :
n
injektiv → zu y ✗
-
n
-
[ ak {
=
haben dieselben Elemente Ak )
a) M N → Mund N
f- ( ✗ ) flxz ) Ausklammern / Aus multiplizieren ( ( •
×, ≠ × c.
:
= =
, n •
"="
B
b) 1- ist Teilmenge von
A gurjektiv → zu jedem y
-
Wert mindestens tx -
Wert E- m \
B
Bf ( BildMenge) Z ( Ziel Menge) Summe zweier Summen n
⑥B
•
A oder B > A wenn = : n n
↳
Teilmenge von bijektiv → wenn surjektiv und injektiv
→ nur bei
gleichen Start lschlussindex
-
[ 9kt [ bk =
[ ( aktbk )
E- m Kim
Wert für ein ✗ Wert Kim
genau 1
-
→
y
-
Mengen Operation DFZ"
• Index verschiebung :
n
n L
Umkehr funktion jedem YEZF ein ✗ C-
-
weist
→
[ du
-
z.B Zu summieren
:{
>
[
→ um
}
=
akte
.
AUB ✗ ✗ EA oder EB
a) Vereinigung ✗
:
" Umkehr funktion nur bildbar '⇐ m
f Zt Df '⇐ m l
}
JÄGER
-
:
ist !
wenn f bijektiv n
b) Schnitt 1- MB y :
{ ✗ : ✗ EA und EB } + ""
"
= "
" = " + " + " =
"
" """ "" P
" "
"" " →
""
① Y Und vertauschen
→
✗
UF bilden
:
A und in Bist A B
auflösen und
c) Differenz AIB :{ × : ✗ EA "" d ✗ ¢-13} ¥1 von f
② nach
✗ und
×
y umtauschen
→ +
( A
◦ „ ne ,
aber nicht B) Tl L =
1 .
z .
. . .
'
N = M !
d) kartesisches Produkt AXB →
Menge aller geordneten Paare ,
Verkettung oder Komposition ^
deren erstes Element in A ✗
A ✗ B. =
{( ×
, y)
:
✗ EA
YEB }
und deren zweites Element h =
g
◦
f- ( g "
verkettet mit f
"
/ "
g nacht
) "
Potenz und Wurzel ✗ → ✗ =
Basis ,
✗= Exponent
,
in B liegt
ab
= ( anbei anbz anbm) → n und m
liegen in AXB → Definitionsbereich für ✗ hängt vom Exponenten
{ '×nä-
×
falls
¥ }
. .
,
.
" n ≥ ^
① ✗ NE No ✗ ER × ✗ =
toren ◦
-17
= : =
;
,
,
◦ =
^
AXB bildet ein Rechteck in der ( n falls n=o
BI
-
' → die zu verkettende hlx ) =
glx ) flx) ◦ ② negative ganzzahlige Exponenten und ✗ ≠ 0 ✗
"
=
# Beispiel : ✗ =
¥
a
Funktion lflx )) für
9 ( f /× ) In ? VF "
=
→ w ≥ 0
③ EIN ×
-
das in
glx / einsetzen
✗ n × ≥ 0 ✗ = w sodass gilt w _
= = :
" ✗ ,
,
' → keine negative
Regeln ×
E- ( NF)
N "" " defi "
Regeln ④ ✗ =
G- c- ④ ( p Ez , q EIN ) ,
× > 0 = > ✗ : =
✗ : =
Distributivgesetze a) Verkettung von 2 injektiven Funktionen ist injektiv
⑤
=
LA
Exponenten
i.
po , enten mit irrationalen
-
b) Verkettung von 2 bijektiven Funktionen ist bijektiv
(A
PIN
) VB ) ( )
( AUC
Xd
n
B MC
A V
NEIN
✗
ER
=
die
• "
↳ rationaler Zahlen ✗
Bg Df beliebige Folge gegen
=
→(
^ ^ 1
✗ an =
ist eine
f g) f-
-
g-
=
konvergiert
◦ = ◦
A ,
B
ßffttf
NAVY c) Ist
für Umkehr funktion
f streng monoton , dann ist f injektiv
Rechenregeln
✗ + ß ✗
ß
c d) Sind fund 9 monoton wachsend , dann ist auch die ✗ = ✗ .
✗
Verkettung fog monoton wachsend
( ✗ IP
✗ P"
•
An ( B VC ) = ( An B) V ( Anc ) e) f und g monoton fallend → Verkettung fog
=
( ✗ B) = ✗
monoton wachsend ? B P
( ✗ y) '
= ✗ .
y
f) Summe ,
Produkt und Verkettung zweier gerader
Funktion ist gerade I
g) Die Summe und Verkettung zweier ungerader
Funktionen ist ungerade . Ihr Produkt ist aber
gerade
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