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Zusammenfassung Analysis und Algebra Funktionen einer Variablen
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Überschauliche Zusammenfassung und Lernzettel für Klausuren Mit Aufgaben und Beispielen
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Funktionen einer Variablen·Funktionen sind in
praktisch jedem Gebiet der reinen und
angewandten Mathematik wichtig
Eine Variable der anderen Variable
ist die Funktion einer anderen Variablen, wenn sie von
abhängt
·
-> Bsp. Die Fläche eines Kreises ist die Funktion des Radius
Wenn Radius Fläche A -A=ir
r
gegeben ist, festgelegt
->
Zeigt, wie die
ges. Ausgaben
für persönlichen Konsum in
Milliarden Euro (ohne Inflation) in den EU-28 entwickeln.
-> Vom ersten Quartal 2013 (131) bis zum letzten 2014 (14QL)
Tabelle definiert
Die
Konsumausgaben als Funktion des
Steuereinnahmen Kalenderquartals
i Zeigt, die Beziehung Lendes
-> vermutete zwischen dem Steuersatz und -
einnahmen eines
-> Steuersatz = 0. - Steuereinnahmen auch o
-> Steuersatz = 100 - Steuereinnahmen annähernd auch o
Steuersatz
&
⑤
100
a
Definition: Eine Treellwertige Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich D ist in der Regel, die jeder Zahl x in D
eine
eindeutige reelle Zahl(x) zuordnet. Die
Menge der Werte f(x), die man erhält, wenn x im
Definitionsbereich variiert, nennt man den Wertebereich von f
·Funktionen werden mit Buchstaben, wie f, g, F oder 4 bezeichnet
Wennf eine Funktion und x eine Zahl aus dem Definitionsbereich Dist, dann bezeichnet f(x
diejenige Zahl, die die Funktion
- der Zahl x zuordnet
·Wenn die
Seitenlänge eines Würfels in m ist, so ist fla)= a das Volumen in Kubikmetern (m3
-> Annahme: Jede Kante d. Würfels verlängert sich um Im-flath)=(otn)
Quiz 1
A) Die Gesamtkosten für die Herstellung von x Einheiten eines Produktes seien
gegeben durch ((x) = 100x/ +300
für jede positive ganze Zahl X8.-Bestimmen Sie die kosten für die Herstellung von 16 Einheiten.
3) Nehmen Sie an, dass ein Unternehmen 16 Einheiten herstellt. - Bestimmen Sie den Zuwachs der Kosten für die Herstellung einer
weiteren Einheit
A) 16 in die Formel einsetzen: 3) Kosten für Einheiten =
(la)=100ara+s00 und die Herstellung für at Einheiten
&) 167 = 100.16. M8 +500 Sind (Ca+1)
100 16.4
=
+500 Cla+1) -
((a)= 1001+1) TEF' + 500-1000rd-s0c
=
6.900 = 100 [latelv-art'] =
609.2796
, 2) Nehmen Sie an, dass die Kosten für die Herstellung von x Einheiten eines Gutes gegeben seien durch
1) x) =
Axu+B wobei AdB Konstanten sind
-> Bestimmen Sie die Kosten für die Herstellung von 10 Einheiten wenn A=100 und B=500
Kosten für OEinheiten sind (10) = A.018+
B=0 + B = B =
300
C (10) = A.10110 + B
=
100.101150 + 500 =
3662, 278
(1x+h) Alxthirth
<Schließlich =
+ B
Die Definition einer Funktion ist unvollständig, es sei denn ihr Definitionsbereich ist offensichtlich und explizit
angegeben
·
Der natürliche Definitionsbereich ist
unvollständig, es sei denn ihr Definitionsbereich ist offensichtlich
oder explizit angegeben
·
Der natürliche Definitionsbereich der Funktion f, definiert durch f(x)=x3 ist die Menge aller reellen Zahlen
·Im Beispiel bezeichnet ((x)=100.x.x +500 die Kosten für die Herstellung von x Einheiten eines Produkts
·
Der Definitionsbereich ist die
Menge der positiven Zahlen
ganzen
·
Tatsächlich ist ein natürlicher Definitionsbereich
gegeben durch die
Menge der Zahlen 0, 1.2, . . .
Xo wobei to die maximale Anzahl der
Einheiten ist, die das Unternehmen produzieren kann.
·
Jedoch ist für ein Unternehmen wie eine Eisenerzime, wo der Outputx eine
stetige Variable ist, der natürliche Definitionsbereich
das abgeschlossene Intervall (0, Xo]
Konvention: Wenn eine Funktion durch eine
algebraische Formel definiert ist, so besteht der Definitionsbereich
aus allen Werten der
unabhängigen Variablen, für die die Formel einen eindeutigen Wert
ergibt,
wenn kein anderer Definitionsbereich explizit angegeben ist.
Y
·
Seit eine Funktion mit DefinitionsbereichD
Die Werte flxt, die die Funktion annimmt, heißt der
f
Menge aller
·
Wertebereich von f
Häufig den Definitionsbereich f Df und den
Re
·
bezeichnen wir von mit
Wertebereich von -
Häufig Defbereich
·
bezeichnen wir den von - mit Df und den Wertebereich
mit Pf
7
Df
Eine Funktion fheipt monoton wachsend, wenn aus (x, folgt f(x)[f(x) und strikt monoton wachsend wenn aus
* n folgt f(x) <f(xc).
Monoton fallende und strikt monoton fallende Funktionen sind in einer
entsprechenden Weise definiert.
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