1. Definitionen
Mittlere Änderungsrate:
Ist die Funktion f auf dem Intervall [a;b] definiert, so heißt
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
der Differenzenquotient (oder die mittlere Än-
𝑏−𝑎
derungsrate) von f im Intervall [a;b].
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
Anschaulich entspricht 𝑚 = der Steigung der
𝑏−𝑎
Sekante durch die Graphenpunkte 𝑃(𝑎|𝑓(𝑎)) und
𝑄(𝑏|𝑓(𝑏))
Momentane (lokale) Änderungsrate:
Unter der lokalen (momentanen) Änderungsrate einer
Funktion 𝑓 im Punkt 𝑃(𝑎|𝑓(𝑎)) versteht man die Steigung
der Tangente an den Graphen von 𝑓 im Punkt 𝑃(𝑎|𝑓(𝑎)).
Man nennt die Tangentensteigung Ableitung der Funktion
𝒇 an der Stelle 𝑥 = 𝑎 (𝑚 = 𝑓´(𝑎))
Differentialquotient von 𝒇 an der Stelle a
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(ℎ)
𝑚 𝑇 = 𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0 ℎ
Ableitungsfunktion (Steigungsfunktion): vergleiche Buch S. 33
Die Ableitungsfunktion 𝒇´: 𝑥→ 𝑓´(𝑥) zu einer Funktion 𝑓 ordnet jedem Wert 𝑥 die Ableitung
der Funktion 𝑓 an der Stelle 𝑥, also die Steigung des Graphen von f im Punkt (𝑥|𝑓(𝑥)) zu.
Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion:
➢ Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkte der Ausgangsfunktion sind Nullstellen der Ablei-
tungsfunktion (Terrassenpunkte sind doppelte Nullstellen)
➢ Ausgangsfunktion fällt → Ableitungsfunktion negativ
➢ Ausgangsfunktion steigt → Ableitungsfunktion positiv
➢ Ganzrationale Funktionen: Abnahme des Grades bei der Ableitungsfunktion um 1 im
Vergleich zur Ausgangsfunktion
1
, Q11m_b SJ 20/21
Differenzierbarkeit:
Eine Funktion f ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn
die Steigung (Ableitung) links und rechts von x 0 gleich ist.
Anschaulich: Der Graph von f darf keinen „Knick“ haben.
Terrassenpunkt:
Als Terrassenpunkt bezeichnet man einen Punkt eines Funktions-
graphen, an dem der Graph eine waagrechte Tangente hat (m = 0),
ohne dass sich dort das Steigungsverhalten des Graphen ändert.
Die Ableitungsfunktion hat an der Stelle des Terrassenpunktes eine
doppelte Nullstelle.
Stammfunktion:
Als Stammfunktion F zu einer Funktion f bezeichnet man jede Funktion, deren Ableitungs-
funktion f ist.
Graphische Bestimmung der Stammfunktion:
➢ Nullstellen der Ableitungsfunktion sind Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkte der Stamm-
funktion
➢ Ableitungsfunktion negativ → STF fällt
➢ Ableitungsfunktion positiv → STF steigt
➢ Ganzrationale Funktionen: Zunahme des Grades der STF im Vergleich zur Ablei-
tungsfunktion um 1
2
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