Struktur der Lösungsmenge vonLGS Ax b m Gleichungen
u habekannte
Min
AE
SEK
ges XE 1k
1 homogene LGS A o
Ao bildet einen Teilraumdes K
2 Inhomogene LGS fx b
Sei xp eine SpezielleLösung
4 4 Ab xp LIAO xp IAEO
xp erfüllt Axp b
Beweis
erfüllt Ax 0
xp X A AxptAx b tO b
xptry ist auch eineLösung
Sei x eine weitere Lsg
Ax b
Apb
Atx xp Ax Axp b b o
x xp ist eine Lsg des homogenen Systems
Xp Xy
Bsp vom letztenMal
Fü
f Öff
UA Eisen
EYEYIE.se
mitE onso
, 4401
Ef f
Eisen span
fµ
Erceagendensystem von 4A0
Definition Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix A ist die Anzahl von NichtuallZeilen in
derZSF der Matrix
e
ÖFF am
r.in
Bemerkung 1 GaußAlgo verändert nicht I maximale Anzahllinearunabhängiger
Spalten der Matrix
Diese Anzahl ist
r Rang A
I maximalAnzahllinear unabhängiger
Zeilen derMatrix
Diese Anzahl ist ebenfalls
r Rang A
2 Füreine mxn Matrixgilt Rang A Em Rang A En
Ax b mit GaußAlgo
Ei iEI O da
Das LGS ist unlösbar falls jt rtl
d.jo für ein in
Das LGS ist lösbar wen drio du 0
T Lösbar RangA r RIA b t für drio du 0
unlösbar
Rang Atr R Alb rtl falls drei 0 du 0
u habekannte
Min
AE
SEK
ges XE 1k
1 homogene LGS A o
Ao bildet einen Teilraumdes K
2 Inhomogene LGS fx b
Sei xp eine SpezielleLösung
4 4 Ab xp LIAO xp IAEO
xp erfüllt Axp b
Beweis
erfüllt Ax 0
xp X A AxptAx b tO b
xptry ist auch eineLösung
Sei x eine weitere Lsg
Ax b
Apb
Atx xp Ax Axp b b o
x xp ist eine Lsg des homogenen Systems
Xp Xy
Bsp vom letztenMal
Fü
f Öff
UA Eisen
EYEYIE.se
mitE onso
, 4401
Ef f
Eisen span
fµ
Erceagendensystem von 4A0
Definition Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix A ist die Anzahl von NichtuallZeilen in
derZSF der Matrix
e
ÖFF am
r.in
Bemerkung 1 GaußAlgo verändert nicht I maximale Anzahllinearunabhängiger
Spalten der Matrix
Diese Anzahl ist
r Rang A
I maximalAnzahllinear unabhängiger
Zeilen derMatrix
Diese Anzahl ist ebenfalls
r Rang A
2 Füreine mxn Matrixgilt Rang A Em Rang A En
Ax b mit GaußAlgo
Ei iEI O da
Das LGS ist unlösbar falls jt rtl
d.jo für ein in
Das LGS ist lösbar wen drio du 0
T Lösbar RangA r RIA b t für drio du 0
unlösbar
Rang Atr R Alb rtl falls drei 0 du 0
