Dies ist eine vollständige Vorlesungsmitschrift zur zehnten Vorlesung des Moduls Analysis I und lineare Algebra für Ingenieurswissenschaften. In dieser Vorlesung werden Vektorräume, Teilräume, Linearkombinationen und der Span thematisiert.
Vektorraum
Menge in derman Elemente addieren kann undmit Skalaren multiplizieren
kann
Skalare kommen aus einem Körper
Q IR E
Wirschreiben 1KfürdenSkalarkörper K IR oder IK
Vektoren Lateinische Buchstaben oder
Bezeichnung a v w usw T.EE usw
Skalare griechischeBuchstaben 7Kambdal µ my usw
Definition Vektorraum
Ein K Vektorraum isteine Menge V deren Elemente man addieren kann und
mit einem Skalar multiplizieren kann
Dh E Ü EV T E V
und XE1k Er E X EV
Dabeigeltenfolgende Gesetze
EHE EHE E E Fü ü asozial
Et ä ä ü Kommutativ
Esgibteinen Nullektor Ö fürden immer gilt Ö ü
neutrales Element
ü für TEV
zu ü EV gibt es einen Vektor ü EV mit Ttt Ö inversesElement
AMÜSANTGAME
At AE ME Gstribut
Hütet y distributor
T.EE
Bsp 1 Derkleinste Vektorraum ist K Ö
2 Pfeilklassen in derEbene ü
F
ü
j
, 3 IR EEIIx xzEIR
In
IR
E ER 1k
allgemeiner oder
IK In Elk
E
AdditionundSkalanmaltiplikation komponentenweise
B
EEE TEE
4 Vektorraum der Polynome
K plp G ist ein Polynom
Bsp Z t 5 Jet 8 PLZ t GE 2 32 13
pe qe
51pct 25 55
5 DEIR Alle Funktionen D IR bilden einen Vektorraum
f
Definition Teilräume
Teilmengeeines Vektaraums die selbst Vektormengeist
Sei V ein IK Vektorraum EineTeilmenge TEV heißtTeilramm in N wen
Tselbst auch ein Vektorraum ist
7 Gesetze 1 2 und 5 8 sind beijederTeilmenge erfüllt
I Teilraumkriterium Eine Teilmenge TEV aus einem KVektorraum V ist genau
dann Teilraum wenn
gilt 1 Ö ET
2 Ü Ü ET ET ET Tmuss abgeschlussen sein
3 ü ET TEK zu T bezüglichAdditionundSkalarmaltiplik
Bsp 1 Fürjeden Vektorraum V ist Öein Teilraum
und V ein Teilraum
2 VER
G ist eine Gerade durch Ö Y
EE IE ER bildeteinenTeilramm
Fi
n
oft Ö 1
1 ne
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