Dies ist eine vollständige Vorlesungsmitschrift zur 26. Vorlesung des Moduls Analysis I und lineare Algebra für Ingenieurswissenschaften. In der Vorlesung werden weitere elementare Funktionen erklärt. Dafür werden reelle und komplexe Exponentialfunktionen, Potenzfunktionen und Logarithmusfunkti...
Exponentialfunktion explx ZEIT Et t
YingE E
konvergent füralle ER
Zahl Gig E
Eulersche e exple
ex 2,7182818
wir verwenden vorläufig nicht exp x et
Wirzeigen mit der Definition von exp die
üblichen Rechenregeln derExponentialfunktion
1 exp istdiffbar mitlexplx exp x
2 exp o 1
3 Kp x tx exp n exple
4 exp f expI
5 0
exp x
6 exp ist streng monaten wachsend
7 Eignet D exp wächstschneller alsjedePotenz
zu 1 exp x Et Et
oft
f HEHEHE E Begründung hierfür später
i
TEE EF E.EE
i i
Et
E t EI t exp x
zu 3 expflexplxzt dt Er t letztEI t
1 X tx E t EI E SITE
7
1 1 2 Ätzte 3 2
6
3 x xp
Tt Katz t Ei t t t
explain
, zu 4 explx expt expft x explott explet F
za 5 exp x 0
angenommen exp A TO expo 1 0
Dann würde da exp diffbar also auchstetig laut Zwischenwertsatz
eine Nsf existieren
aber_ exp x O
explx O füralle ER
zu 6 lexplx exp x 0 wächststreng monoton
zu 7 expltät Et Et EI
ei Einü
zu 8 E expktEs_expI
natürliche Logarithmus
funktion
exp IR 30,0T bijektiv Umkehrfunktion lu JO.ME IR
explend x x so lnlexplx x
für ER
Eigenschaften des Logarithmus
1 In x x en x ten Ix
2 In 11 0
3 In end
4 In E enkel ent
5 en Joint IR bijektiv
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