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Abiturprüfungen Mathematik Gemotrie +Lösung ()
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Dokument Information

  • 2. april 2023
  • 54
  • 2022/2023
  • Prüfung
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Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung:
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2017 - Leistungskurs Mathematik Name:


Teil 2 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Analytische Geometrie TR
Solarmodul

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck ABCD mit A  0 | 0 | 1 , B  2 | 6 | 1 , C  4 | 8 | 5 
und D  6 | 2 | 5  gegeben.

a) Begründen Sie, dass die Gerade g durch die Punkte A und B parallel zur x1x2 -Ebene verläuft.

Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit M bezeichnet. Berechnen Sie die Koordinaten
von M.
Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Parameterform.
(9 Punkte)

Das Rechteck ABCD soll die Fläche eines Solarmoduls darstellen. Diese wird im Folgenden kurz „Modulflä-
che“ genannt. Die Modulfläche liegt in der Ebene E : 3x1  x2  5x3  5 . Im Koordinatensystem beschreibt
die x1x2 -Ebene den horizontalen Boden. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

b) Für einen möglichst großen Energieertrag sollte der Neigungswinkel φ der Modulfläche gegenüber der
Horizontalen zwischen 30° und 36° liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das in Abb. 1 durch parallele Pfeile dargestellt wird,
senkrecht auf die Modulfläche. Diese erzeugt auf dem horizontalen Boden einen rechteckigen Schatten.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes F von A.
Begründen Sie unter Verwendung von Abb. 2, dass der Flächeninhalt des rechteckigen Schattens mit-
AD
hilfe des Terms AB  berechnet werden kann.
cosφ
(12 Punkte)




Abb.1 Abb.2




MAT-LK-TR-Teil 2-H Aufgabe 4 Seite 1 von 2

,Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung:
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:


Teil 2 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Analytische Geometrie TR
Minigolfbahn „Schiefe Rampe mit Hindernis“

Auf einem Minigolfplatz wird eine Bahn mit einer schiefen Rampe und einem Hindernis betrachtet. Sie ist in
der Abbildung im Material dargestellt. Um die Bahn herum verläuft eine Bande, die verhindert, dass der Ball
von der Bahn rollen kann. Diese Bande ist in der Abbildung nicht dargestellt. Eine Längeneinheit entspricht
einem Meter in der Wirklichkeit.
Die Bahn besteht aus der waagerechten Abschlagsfläche und einer schiefen Rampe, die hoch zu der
waagerechten Zielfläche mit Hindernis und Zielloch führt. Die Zielfläche ist 50 cm höher als die Abschlags-
fläche.


a) Wir betrachten zunächst die Rampenfläche, die durch das Viereck ABCD mit A(8 | 0 | 0) , B(7,5 | 2 | 0) ,
C(5,375 | 2 | 0,5) und D(5,875 | 0 | 0,5) dargestellt ist.

Zeigen Sie, dass die Rampenfläche ein Parallelogramm, jedoch kein Rechteck ist.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform, die die Rampenfläche enthält.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Rampenfläche bezüglich der x1x2 -Ebene und ihre Steigung.
(13 Punkte)

Sie beobachten einen Spieler bei seinem ersten Schlag auf dieser Bahn. Der Spieler legt den Ball auf den
Punkt P0 (9,75 | 1,5 | 0) der Abschlagslinie und schlägt ab.

Der Ball rollt von der Abschlagslinie die waagerechte Abschlagsfläche entlang, dann über die schiefe Ram-
penfläche hoch auf die waagerechte Zielfläche, prallt an der Bande ab und verfehlt das Zielloch. Der Verlauf
des Balles ist durch die gestrichelte Linie in der Abbildung dargestellt und wird nun näher untersucht.

b) Zunächst rollt der Ball von Punkt P0 entlang der Geraden g mit
 7,75   4 
   
g : x   1   r   1  , r 
 0  0
   
und erreicht dann in Punkt P1(7,75 | 1| 0) die untere Kante AB der Rampenfläche.

Zeigen Sie, dass der Ball rechtwinklig auf die untere Kante AB der Rampe auftrifft.
Weil der Ball rechtwinklig auftrifft, verändert er seine Laufrichtung beim Hochrollen der Rampenfläche
nur in x3 -Richtung.

Geben Sie eine Parameterform der Ebene G an, die die Gerade g enthält und vertikal (also senkrecht
zur x1x2 -Ebene) ausgerichtet ist.

Ermitteln Sie (zum Beispiel mit Hilfe der Ebene G) den Punkt P2 auf der Kante DC , an dem der Ball
die Rampenfläche wieder verlässt.
(11 Punkte)




MAT-LK-TR-Teil 2-N Aufgabe 4 Seite 1 von 2

,Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung:
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:


Teil 2 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Analytische Geometrie TR
Quader

Die Punkte A  4 | 0 | 0  , B  4 | 4 | 0  , C  0 | 4 | 0  und F  4 | 4 | 3  sind Eckpunkte eines Quaders. Die Gerade h
verläuft durch B und F. Eine Abbildung befindet sich im Anhang.

a) Begründen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist.
Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die durch A und C verläuft.
Begründen Sie, dass die Gerade g windschief zur Gerade h ist.
(6 Punkte)

Die Punkte der Gerade h lassen sich durch Pt  4 | 4 | t  mit t  IR darstellen. Für jeden Wert von t liegen die
Punkte A, C und Pt in der Ebene Et : t  x1  t  x2  4  x3  4  t .

b) Zeichnen Sie für t  2 den Punkt Pt sowie einen Ebenenausschnitt von E t in die Abbildung ein.

Ermitteln Sie diejenigen Werte von t, für die die zugehörige Ebene E t mit der x1x 2 -Ebene einen Winkel
der Größe 60° einschließt.
(6 Punkte)

Der Quader wird durch die Ebene E t geschnitten. Je nach Lage der Ebene E t kann diese Schnittfläche
unterschiedliche Formen haben. Eine mögliche Form ist das in der Abbildung dargestellte Viereck mit den
Eckpunkten A, C, N und M.

c) Beschreiben Sie, welche Form die Schnittfläche von Quader und Ebene besitzt für die Ebene E t mit
t 0.

Es gibt Werte von t, für die die Schnittfläche des Quaders und der Ebene E t die Form eines Dreiecks
hat. Geben Sie alle diese Werte von t an und beschreiben Sie die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.
(6 Punkte)

d) In der Abbildung wird der Quader von der Ebene E t mit t  6 geschnitten. Die Schnittfläche ist dann das
Viereck mit den Eckpunkten A, C, N und M, wobei M(4 | 2 | 3) und N(2 | 4 | 3) . Diese Schnittfläche zer-
teilt den Quader in zwei Teilkörper.
Die Gerade j verläuft durch die Punkte A und M. Die Gerade k verläuft durch die Punkte C und N.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Geraden j und k.
Zeigen Sie, dass S auf der Geraden h liegt, sodass die Eckpunkte A, B, C und S eine Pyramide bilden.
Berechnen Sie das Volumen des Teilkörpers mit den Eckpunkten A, B, C, M, F und N.
(12 Punkte)

e) Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten
geometrischen Objekten dar:

t  4  t  4  4  0  4t
 2  t  2 2  t  2 2
t 2  t 2  16
Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabenstellung.
(3 Punkte)

MAT-LK-TR-Teil 2-H Aufgabe 4 Seite 1 von 2

, Freie Hansestadt Bremen SNR: Kursbezeichnung:
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Zentralabitur 2019 - Leistungskurs Mathematik Name:


Teil 2 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Analytische Geometrie TR
Edelstein

Die Abbildung 1 in der Anlage stellt einen bearbeiteten Edelstein dar. Im verwendeten kartesischen Koordi-
natensystem, in dem eine Längeneinheit einem Millimeter in der Wirklichkeit entspricht, sind die Quadrate
ABCD und EFGH mit A  4 | 4 | 1 und E  2 | 2 | 0  parallel zur x1,x2 -Ebene. Die Mittelpunkte der beiden
Quadrate sowie der Punkt S  0 | 0 | 5  liegen auf der x3 -Achse.

Die Abbildung 2 in der Anlage stellt den Edelstein nach einem zusätzlichen Bearbeitungsschritt dar, bei dem
ein pyramidenförmiges Stück abgeschliffen wurde. Das Viereck EIJK mit I  4 | 2 | 1 und K  2 | 4 | 1 ist ein
symmetrisches Drachenviereck und liegt in der Ebene W.

4  1
   
a) Die Gerade u : x   4   r   1 mit r  IR verläuft durch A.
 1  1
   
Zeigen Sie, dass u auch durch S verläuft.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene W in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: W : x1  x2  2x3  4 )

Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebene W mit der Ebene, in der das Quadrat ABCD liegt.
(8 BE)

b) Berechnen Sie den Mittelpunkt der Strecke IK .
Bestimmen Sie die Koordinaten von J auf der Kante des Diamanten.
(zur Kontrolle: J(3,5 | 3,5 | 1,5 ) )

(5 BE)
c) Berechnen Sie den Abstand vom Punkt A zur Ebene W.
Bestimmen Sie das Volumen des Teils des Edelsteins, der durch den zusätzlichen Bearbeitungsschritt
verloren ging.
(6 BE)

d) In weiteren Bearbeitungsschritten werden auch an den Eckpunkten des Edelsteins, die durch B, C und D
dargestellt sind, pyramidenförmige Stücke gleicher Form und Größe abgeschliffen. Anschließend ist der
Edelstein symmetrisch bezüglich der Achse, die im Modell durch die x3 -Achse beschrieben wird.

Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Eine der drei Flächen, die durch die weiteren Bearbeitungsschritte entstanden sind, liegt im Modell in der
Ebene mit der Gleichung
 2   1  1
     
x   2   r   1  s   1 mit r,s  IR .
0 0  1
     
(3 BE)




MAT-LK-TR-Teil 2-H Aufgabe 4 Seite 1 von 3

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