Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung:
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2017 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 2 – Aufgabe 2 - zum Themenbereich Analysis TR
Temperatur von Flüssigkeiten
In Produktionsprozessen sind die Temperaturen von Flüssigkeiten oft von großer Bedeutung. Mathemati-
sche Modellierungen der Temperaturen helfen die Prozesse zu optimieren. Bei allen Funktionen in dieser
Aufgabe beschreibt der Funktionswert die Temperatur einer Flüssigkeit (in Grad Celsius) in Abhängigkeit
von der Zeit (in Minuten). Runden Sie die berechneten Temperaturwerte auf eine Stelle hinter dem Komma.
a) Modellierung eines Abkühlungsvorgangs
Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Temperatur einer kleineren Menge Flüssigkeit rund 77°C und die
momentane Änderung der Temperatur ist -2,7°C pro Minute. Die Flüssigkeit kühlt dann auf Raumtempe-
ratur ab.
Dieser Abkühlungsvorgang lässt sich für t 0 durch Funktion f mit
f t 23 a ekt und a, k IR
näherungsweise beschreiben.
Bestimmen Sie die passenden Werte von a und k.
Geben Sie die Raumtemperatur an.
(6 Punkte)
In einem Produktionsprozess wird nun eine Flüssigkeit erhitzt (Phase I), eine Zeit lang bei konstanter Tem-
peratur gehalten (Phase II) und kühlt anschließend ab (Phase III). Dabei wurden Messungen durchgeführt.
Die Messergebnisse (Kreuze) und die Phasen sind in Abbildung 1 im Material eingetragen.
Im Folgenden werden die Messungen abschnittsweise mit unterschiedlichen Funktionen modelliert.
b) Abkühlung (Phase III)
Der Abkühlungsvorgang ab der 20. Minute wird zunächst näherungsweise für t 20 durch die Funktion g
mit
g t 23 197,4 e0,065t und t IR
beschrieben. Die folgende Tabelle enthält die zugehörigen Messwerte:
Zeit in Minuten 20 40 60 80
Temperaturmessung in °C 76,8 37,9 26,0 23,2
Funktionswerte der Funktion g
Berechnen Sie die fehlenden Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen von g mit Hilfe dieser
Funktionswerte in das Koordinatensystem der Abbildung 1 im Material. Achten Sie dabei auf den Unter-
schied zwischen Mess- und Funktionswerten.
Bestimmen Sie mit Hilfe einer Rechnung nach welcher Zeit die Temperatur, die durch die Funktion g
modelliert wird, 25°C beträgt.
Der tatsächliche Zeitpunkt, zu dem die Temperatur der Flüssigkeit 25°C beträgt, stimmt nicht mit dem
berechneten Zeitpunkt überein. Entscheiden Sie begründet mit Hilfe der Mess- und Funktionswerte
nach 60 und nach 80 Minuten, ob die Flüssigkeit vermutlich früher oder später als dies die Funktion g
angibt, die Temperatur von 25°C hatte.
Zeigen Sie, dass die Funktion g die Gleichung g(t) 0,065 (g(t) 23) erfüllt und interpretieren Sie
diese Gleichung im Sachzusammenhang.
(11 Punkte)
MAT-LK-TR-Teil 2-H Aufgabe 2 Seite 1 von 3
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Teil 2 – Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis TR
Gläser
1
Es werden die mittigen Längsschnitte von Gläsern ohne die Füße und Stiele der Gläser betrachtet. Eine
Längeneinheit entspricht 1 cm in der Wirklichkeit. Die Materialstärke der Gläser wird im Folgenden vernach-
lässigt. Die Glasformen sind so gewählt, dass sich jeder Längsschnitt durch eine Funktion fk beschreiben
fk x 512
2
3k x 4 3k x 2 , wobei
lässt mit 32
x IR und k 0 .
Die Abbildung 1 zeigt fünf zugehörige Graphen.
Abbildung 1
a) Ordnen Sie den Funktionen f2 und f3 jeweils mit Hilfe einer Rechnung den zugehörigen Graphen zu.
Begründen Sie, dass der Graph von fk für jedes k 0 symmetrisch zur y-Achse ist.
Berechnen Sie die möglichen Extremstellen von fk (eine Überprüfung mit fk ist nicht nötig).
Alle Extrempunkte Hk
8k | 38 k 3 liegen auf einer Ortskurve. Bestimmen Sie deren Gleichung.
(11 Punkte)
1
Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d. h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreis-
förmig. Im Koordinatensystem stellt die y-Achse die Rotationsachse für jedes Glas dar.
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Im Folgenden werden ein Cocktailglas und ein Sektglas näher betrachtet.
Der Längsschnitt des Cocktailglases lässt sich mit der Funktion f3 beschreiben mit
f3 x 512
9 x 4 27 x 2 , wobei
32
x IR .
b) Um das Glas herum ist eine kreisrunde 18,85 cm lange Dekorlinie eingeschliffen.
Berechnen Sie, in welcher Höhe diese verläuft.
2
Im Glas steht ein Strohhalm, der es im oberen Bereich tangential berührt. Im Modell entspricht dieser
Berührpunkt dem Punkt P 4 | 9 .
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten t, welche die Lage des Strohhalms beschreibt.
Ermitteln Sie die Länge des Strohhalmabschnitts, der zwischen seinem unteren Punkt und dem Berühr-
punkt liegt.
Bestimmen Sie das Intervall für x, in dem der Längsschnitt des Cocktailglases linksgekrümmt ist.
(11 Punkte)
Das Sektglas ist 12 cm hoch und sein oberer Rand hat einen Durchmesser von 6 cm.
c) Geben Sie an, welcher Graph den Längsschnitt des Sektglases beschreibt.
Der Längsschnitt des Sektglases erinnert an eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S 0 | 0 .
Bestimmen Sie mit Hilfe der obigen Angaben eine quadratische Funktion p, die den Längsschnitt nähe-
rungsweise beschreibt.
Wird das Sektglas mit Flüssigkeit gefüllt, gibt die Funktion r mit
r h 1
2
3h , wobei h IR0
zu jeder Füllhöhe h in cm näherungsweise den Radius der Oberfläche der Flüssigkeit in cm an.
Abbildung 2
Ermitteln Sie unter Verwendung von r das Volumen der Flüssigkeit bei einer Füllhöhe von 6 cm.
In jedem Sektglas zeigt ein Markierungsstrich die Füllhöhe an, bei der das Glas genau 100 cm3 Flüssig-
keit enthält.
Untersuchen Sie, wie weit unterhalb des oberen Glasrandes sich diese Markierung befindet.
(11 Punkte)
2
Der Durchmesser des Strohhalms wird im Folgenden vernachlässigt.
MAT-LK-TR-Teil 2-H Aufgabe 1 Seite 2 von 2
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Schriftliche Abiturprüfung 2017
Teil 2 – Aufgabe 1 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Bewertung
Lösungsskizze
I II III
a) Aus fk 4 3k 3k2 folgt beispielsweise f2 4 3 sowie f3 4 9 . Darum gehört
2
2
der Graph V zur Funktion f2 und der Graph II zur Funktion f3 .
Der Term von fk enthält nur Potenzen von x mit geradem Exponenten, daher ver-
läuft der Graph symmetrisch zur y-Achse.
Mit fk x 128
2
3k x3 3k x 3k x3 3k x 0 2
16
ergibt sich : 128 16
2
3k x2 3k 0 x 0 x2 8k
x 0 128 16
x 0 x 8k x 8k
3
1 x2 ergibt sich die Ortskurve y 38 k 3 1 x2
Wegen x 8k k 3 3 x6 .
8 8 8 4096 4 5 2
b) Wegen d π 18,85 d 6 befindet sich die Dekorlinie, dort, wo das Glas einen
Durchmesser von 6 cm hat. Aus f3 3 6,17 folgt dann, dass sich die Dekorlinie
etwa in 6,17 cm Höhe befindet.
Mit f3 x 128
9 x3 27 x
16
folgt: f3 4 2,25 .
Für die Tangente t gilt: t x f3 4 (x 4) f3 4 2,25 x 9 9 2,25 x .
Die Tangente verläuft durch die Punkte O 0 | 0 und P 4 | 9 . Die Länge L des
fraglichen Strohhalmabschnitts beträgt etwa 9,8 cm, denn: L 42 92 9,8 .
Es gilt f3 x 128
27 x2 27 0 x 2 8 x 8 x 8
16
. Damit gilt f3 x 0
für 8 x 8 und der Graph ist auf diesem Intervall linksgekrümmt. 6 5
c) Der Graph I beschreibt den Längsschnitt des Sektglases.
Da der Scheitelpunkt der Parabel p in 0 | 0 liegt, gilt: p x a x2 . Aus den Abmes-
, also p x
2 4 4 x2
sungen des Sektglases ergibt sich p(3) a 3 12 a 3 3
.
6 6 6
34 h dh π 38 h
2 6
2
π r h dh π
2 1 3h dh π 13,5 π 42,4
2 0
0 0 00
3
Das Volumen der Flüssigkeit beträgt etwa 42,4cm .
Es muss gelten:
x
21
2 x
100 π 3h dh π 83 h2 100 83 x 2 π 100 x 2 800
0 3π
0
x 800 x 800 9,2 . Der Markierungsstrich befindet sich damit etwa
3π 3π
12cm - 9,2cm = 2,8 cm unterhalb des oberen Glasrandes. 3 6 2
Verteilung der insgesamt 33 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 7 17 9
MAT-LK-TR-H-L Erwartungshorizont Teil 2 – Aufgabe 1 Seite 5 von 15
