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Zusammenfassung Abiturskript (Lernzettel) Mathematik Leistungskurs 2023 (ausführlich: 53 Seiten)
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Konrad Strenge ABITURSKRIPT MATHEMATIK LK 03.05.2023ABITURSKRIPT MATHEMATIK LK
Hessen 2023
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen Analysis ................................................................................................................................ 3
Definition: Was sind Funktionen? ....................................................................................................... 3
Arten von Funktionen (Funktionsklassen) ........................................................................................... 3
Funktionen manipulieren .................................................................................................................... 9
Funktionen untersuchen (Kurvendiskussion) .................................................................................... 10
Tangenten und Normalen .................................................................................................................. 11
Funktionenscharen ............................................................................................................................ 11
Rechenregeln und Methoden zum Lösen von Gleichungen.............................................................. 12
Differentialrechnung (E) ........................................................................................................................ 14
Ableitungsregeln................................................................................................................................ 14
Extremalprobleme ............................................................................................................................. 15
Integralrechnung (Q1) ........................................................................................................................... 16
Bestandsbegriff .................................................................................................................................. 16
Integrationsregeln ............................................................................................................................. 16
Stammfunktionsnachweis ................................................................................................................. 17
Bestimmtes und unbestimmtes Integral ........................................................................................... 17
Flächeninhaltsberechnung ................................................................................................................ 17
Volumen von Rotationskörpern......................................................................................................... 19
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ............................................................................ 19
Lineare Gleichungssysteme (Q2.1) ........................................................................................................ 20
Äquivalenzumformungen .................................................................................................................. 20
Gaußscher Algorithmus ..................................................................................................................... 20
Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme................................................................................ 20
Gleichungssysteme mit Parameter .................................................................................................... 21
Allgemeines Lösungsschema ............................................................................................................. 21
Matrixschreibweise ........................................................................................................................... 21
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,Konrad Strenge ABITURSKRIPT MATHEMATIK LK 03.05.2023
Orientieren und Bewegen im Raum (Q2.2) ........................................................................................... 22
Vektoren ............................................................................................................................................ 22
Geraden und Ebenen im Raum (Q2.3) .................................................................................................. 25
Geraden im Raum .............................................................................................................................. 25
Ebenen im Raum ............................................................................................................................... 25
Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum ........................................................................... 27
Schnittpunkte und Schnittgeraden .................................................................................................... 29
Abstände im Raum ............................................................................................................................ 30
Winkel im Raum ................................................................................................................................ 32
Grundlegende Begriffe der Stochastik (Q3.1)........................................................................................ 33
Zufallsprozess/Zufallsversuch/Zufallsexperiment.............................................................................. 33
Ergebnisse und Ereignisse ................................................................................................................. 33
Vereinigung und Schnitt von Ereignissen .......................................................................................... 33
Gegenereignis .................................................................................................................................... 33
Absolute und relative Häufigkeiten ................................................................................................... 34
Der Begriff der Wahrscheinlichkeit.................................................................................................... 34
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Q3.2) ...................................................................................... 35
Kombinatorik ..................................................................................................................................... 36
Fächermodell (Lotomodell) ............................................................................................................... 37
Zusammengesetze Zufallsprozesse ................................................................................................... 38
Satz von Bayes ................................................................................................................................... 39
Vierfeldertafeln.................................................................................................................................. 39
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Q3.3) ............................................................................................... 40
Zufallsgröße/Zufallsvariable .............................................................................................................. 40
Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Darstellung ..................................................................... 40
Erwartungswert ................................................................................................................................. 40
Standardabweichung und Varianz ..................................................................................................... 40
Bernoulli-Versuch/Experiment .......................................................................................................... 41
Mindestens-Mindestens-Mindestens-Probleme (inverse Fragestellungen) ..................................... 43
Die Normalverteilung als Approximation .......................................................................................... 44
Hypothesentests (Q3.4)......................................................................................................................... 48
Grundlagen der statistischen Entscheidungstheorie ......................................................................... 48
Signifikanztests .................................................................................................................................. 50
Signifikanztests mit vorgegebenem Signifikanzniveau ...................................................................... 52
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,Konrad Strenge ABITURSKRIPT MATHEMATIK LK 03.05.2023
Grundlagen Analysis
Definition: Was sind Funktionen?
Als Funktion bezeichnet man auch die Beziehung zwischen zwei Mengen. Die Elemente dieser
Mengen werden meist 𝑥 und 𝑦 genannt.
Zusammenhänge in Mathematischen Funktionen
• zwei Variablen stehen in einer Beziehung zueinander
• 𝑥 ist dabei die unabhängige Variable mit welcher man die abhängige Variable 𝑦 berechnen
kann
• die Menge aller 𝑥-Werte nennt man Definitionsbereich, bzw. Definitionsmenge 𝔻𝑓
• die über die Funktionsvorschrift 𝑓 berechnete Menge aller berechneten 𝑦-Werte nennt man
Wertebereich oder Wertemenge 𝕎𝑓
• 𝑥 und 𝑦 bezeichnet man auch als Elemente ihrer jeweiligen Menge
Wird jedem 𝑥-Wert genau ein einziger 𝑦-Wert zugeordnet, nennt man die Beziehung zwischen den
Variablen Funktion. Die Funktion ist damit immer eindeutig. Ist jedem 𝑦-Wert auch genau ein 𝑥-Wert
zugeordnet, ist die Funktion eineindeutig.
Graphische Darstellung von Funktionen
Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, kann beispielsweise eine Wertetabelle erstellt
werden. Diese ordnet Punkte 𝑃(𝑥|𝑦) tabellarisch an, welche anschließend in ein Koordinatensystem
eingezeichnet werden können.
Beispiel: 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙𝟐 :
Wertetabelle Funktionsgraph
𝒙-Wert 𝒚-Wert
-2 4
0 0
1 1
2 4
Arten von Funktionen (Funktionsklassen)
Lineare Funktionen
Lineare Funktionen sind Funktionen der Form:
𝑓(𝑥) = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑏
Aussehen:
Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Sie schneiden die 𝑦-Achse am 𝑦-Achsenabschnitt 𝑏.
Proportionale Zusammenhänge:
Proportionale Größen sind verhältnisgleich; das heißt, bei den proportionalen Größen 𝐴 und 𝐵 ist die
Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe 𝐴 stets mit einer Verdopplung
(Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe 𝐵 verbunden, oder allgemein gesagt:
𝐴
= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝐵
Graphen von proportionalen Zuordnungen verlaufen immer durch den Ursprung.
3
, Konrad Strenge ABITURSKRIPT MATHEMATIK LK 03.05.2023
Gebrochen-rationale Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen
lässt. Sie treten oft dann auf, wenn zwei Größen antiproportional zueinander sind.
Aussehen:
Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen sind Hyperbeln, sie nähern sich asymptotisch den
Achsen an, berühren diese aber nie.
1 2 1 𝑥+2
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥3
Umgekehrt proportionale (anti-/indirekt proportionale) Zuordnungen:
Antiproportionale Größen sind produktgleich; das heißt, bei den antiproportionalen Größen 𝐴 und 𝐵
ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der Größe 𝐴 stets mit einer Halbierung
(Drittelung, Verdopplung) der Größe 𝐵 verbunden, oder allgemein gesagt:
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen können in drei Formen dargestellt werden. Bei der Normalform lässt sich
der Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen, bei der Scheitelpunktform der Scheitelpunkt und bei der
faktorisierten Form die Nullstellen der Funktion:
Grundform: 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥 2 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐
Scheitelpunktform: 𝑓(𝑥) = 𝑎 · (𝑥– 𝑑)2 + 𝑒
Faktorisierte Form: 𝑓(𝑥) = (𝑥– 𝑥1 ) · (𝑥– 𝑥2 )
Aussehen:
Die Kurve von quadratischen Funktionen nennt man Parabel. Der Scheitelpunkt S ist der tiefste oder
höchste Punkt einer Parabel.
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑓(𝑥) = −𝑥 2
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