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Zusammenfassung, Grundlagen der Mathematik
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Zusammenfassung, Grundlagen der Mathematik, 1. Semester, alle Vorlesungen
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, "Konrad Zimmermann Du
"
Einführung und Notation
1-433
101022 1 11
Einführung Zimmermann @ mathuni
-
leipzig .de
AUSSAG OG
1
2.
1.1 Beispiele A- und
✓ oder
Satz der potentiell falsch kann
=
wahre sein nicht
, 7 =
Af /
"" A Was ist Aussage
= =
es folgt
: ¥:"
eine
B f- zz × ,
2- Zahlen "A
c
Bei Vollmond sprießen grüne Hasen im Meer C Dieser Satz ist falsch
1. 3.
Definition : F-
# sind Aussagen
und
^ '
§ ( nicht § )
z $17 § und #
3 EVE ☒ oder #
f- laut
-
4 Er →
folgt #
¥Ä / ☒ genau
_
.
5 dann wenn #
Wahrheitstafel
2
Aussage" [
Negation Konjunktion
t dominant
Disjunktion
w dominant
Implikation Äquivalenz Aussagen 4 mögliche
⊕ ④ 3 Aussagen 9
g-
-
"
$
- - -
w
' °
Aleje
f
w w w w W W
t w
w f f w t f
=
Gegenteil f w t w w f
f f f f W W
1.6
Reihenfolge vor nie vor →
E. ¢ steht für KIKI
f- E)
Ich ☒ y
→ →
# E IÄNI E →
- '
'
En # →
InEIKHvht.lt -
>
IGEIVI)
E t I → ¥ ( E E) >
- ^ / I. →
E) ☒ → EVI E-F- F- HI
W W w w w w
w
w f f f w t
f
t w w f u u
f
t f w w w w
w
Tautologie
logisch äquivalent
, "
Logische Äquivalenzen Rechenregel„
de Morgan Regel :
* →In /✗ →
4) äquu .
$ ↓ ↳ ,
In # ä 7 # -
v
tlovt - "-
¢ →
t i / Evtl ä ' En it
En
-
- -
IHN ) -
" -
tut EE - " -
¥
Er § -
" -
Er F-
E- Für alle J Es gibt -
- -
/ tönt / -0
In Hin -01 -
-
" -
- -
^
lövllüv-0)
- ( Ötv F) v -0 - " -
( Än E) v Hr -0)
-
④ Hiv -0) ^ - " -
Ev (In -0 ) " LIVE ) ^ Hvo )
-
- -
1 z.B .
Die Aussage ¥ × ≥0 >
wahr für natürliche Zahlen
>
falsch für ganze Zahlen
2 z.B .
Die Aussage V7 Ex ltyly sind dieselbe Aussage
>
gebundene Variable
3 Z.B .
H¥
4 Quantoren gleicher Art können vertauscht werden , jedoch nicht t und ] .
N
f- Die Aussagen Kitty ×
>
y und Kitty ×> y sind gleich äquivalent
ttify y > × und f-ytfx y
> × sind verschieden
G
5 z.B.tk Ex und >
3- × 7€ × drücken gleichen Sachverhalt
aus .
, 1. 3 G
Def Eine für beliebige Objekte
"
.
:
Menge ist ein
gedanklicher Behälter
„
mathematische .
> Für eine Menge A interpretieren wir die Aussage
✗ EA als „
× ist ein Element von A oder ✗ E A
^ ^
✗ ist enthalten in A
Objekt Menge
>
Für ✗ EA schreiben wir abkürzend ✗ EA
*
Mengen besitzen keine von Natur aus
vorgegebenen Eigenschaften o .
Strukturen
>
legen Eigenschaften fest
wir
*
Mengen können unendlich viele Objekte en.fi: allen Abkürzung : ✗
¢A für ✗ c- A
Mengenlehre : ◦ alle mathematischen Objekte sind spezielle Mengen
◦
alle Elemente Mengen sind selbst Mengen von
◦
alle Eigenschaften und Beziehungen mathematischen Objekten v.
untereinander werden mittels d E Relation ausgedrückt .
-
12 10 22
Wir spezifizieren Mengen üblicherweise auf folgende Art :
1 ∅ nennen wir leere Menge Menge ,
ohne Elemente
✗ £ ∅ ist falsch für belieb . ✗
2
Endliche Mengen können wir aufzählen !
{ 0,7 2,1 } ,
.
>
ungerade Zahlen
Unendliche Mengen
"
ist problem ±.
"
: isch
{ 0,2 4,6} ,
.
→
gerade Zahlen
3 Auswählen bestimmter Elemente einer Menge A Bsp
.
gerader Zahlen
Aussage ☒ (x) ist wahr
:
>
← B. :
{ ✗ EIN In EIN In } : =
×
>
Notation wird verwendet :
{ ✗ EA § × }
Relationen für Mengen :
^ A ist eine
Teilmenge von B oder Bist eine
Obermenge von A
>
geschrieben : Ac B o .
BIA
,
falls jedes Element von A auch Element
von B ist falls also gilt
,
>
Vx ✗ c- A >
✗ EB
jede leere Menge ist Teilmenge jeder anderen Menge
2 A und B sind identisch
>
geschrieben A B falls A : =
, genau die selben Elemente wie B enthält ,
falls also
gilt " |
Vx ✗ EA
< >
✗ c- B =
„
Extensionalitäts prinzip .
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