INTEGRALSÄTZE ELEKTROSTATIK E 8 , 85 10-12
·
#
= .
MULTIPOLENTWICKLUNG
SordF ÄCr) SudV F')
au = Sar'pr)- -
Gauß : . =
div ACr) (F -
E(r) = (F)
Er)
·
S FERNZONE Taylorentwickel, In
1F = IF -
F'13
Fläche
y D
DEMO
=> Fluss von F(r) durch Lokalisierte R
,
- ladungsverteilungen
Sor SSEdFrotAlt
=
SrdV rotÄ
Limp
=
0-Raum)
Stokes :
Sul(RE) ( Ico I(r) =
it +F Ei Qij
Mittelwert RIF =
=
mit ) =
POISON-GLEICHUNG
Jd3r'PCF) 29i
-
Monopolmomentq
-
-
=
A() divE(r) <
unabhängig vo n
-
-
=
=
Dipolmoment Sarüs (F) qiFi Ursprungs
⑤
der Wahl des
= =
-
L
Quadrupolmoment EJdr's(r) Xixj'
0⑳
mit
6
gij Symetrisch"
=
"spurfrei,
Qij Qji
[iqi (3xirxie-riore) die Ei Qii = =
differenz =
~ mit
(3xiXi'-Gir)p(r)
Fri Flächendungsdichte O(F) Quadrupolmoment Qij Jdr
=
tangentiale Ex (Ez-En 13
j stetig
Ladungsverteilung
Ver
=
für E Konst W= Komponente Ist
=
=
=
1 ·
t
X spring
komponente (E-En ( =E
>
-
F
p( r)
mit verschiedene norma
(EC) / muss in UM
spiegelsymetrisch p(r)
·
* :
W(F)
.
=
. . -
%
Energiedichte W
...
=
werden
Raumbereiche geteilt 5
Win-ar
-E Dipolmoment # ↑ =
Qi =
0 Vi + j
di
ein 0
Eon Elf
=> =
↑
coulomb-F = Q9i
Ö
·
=
=
Q .
E & = A(r) D( r) p
Kraft
=
Kugelsymetrisch
:
-
-
Dipolfeld Go
DEMO
z B
a G
.
↑
=ein
Quadruparoment =
o
=
L diß =a Tors (3(p) p) -
RANDWERTPROBLEME Lösungsverfahren für
Poisson-Gleichung AI) =
-
--
+ Qij Ot Ent
WECHSEL-
mit
Wirruwas-W(r) =
gext +
(p . ) Eext -
Randbedingungen
für re
räumlich e (5) Raumbereich V ENERGIE
daß in
geg
:
begrenzt (Dirichlet) = W(r) qEext (p)Eext 5 Que
-
Grenzflächen auf OV
Kraft F
· + +
: = =
an
-
·
obion = Flov (Neumann)
allgemein M
Emitwirkende
:
=
Ex Ext
gepfe
M (dr'rx Ext( + F) =
~
=
neeitend" . Konst
s
DIPOL-DIPOL-
WECHSELWIRKUNG Wiz =do(-3-
IF F215 -
geerdet" h 0 und d h
=
Z . .
B , d .
.
,
.
formale auch Mit
-
Lösung ? => Potential einer fiktiven ladungs- KUGELFLÄCHEN FUNKTIONEN
Enterten Gr
=
GREEN'SCHER
verteilung
fr
RandbedingerhalbvonVsodasin Eigenfunktionen von AaYem( 4) ele + 1) Yem 10 4)
+
=
Ful
=
-
I , ,
DEMO
Potential vo n -
Yem(4) = PerCoss) eine
=
Mit Drf(FF) =
0 VF , Fe Punktladung
-
2 = 0, 1 , 2 ....
/oraFG(F . ) rev) G( , ) BILDLADUNGEN (angeerde e 0 e
~
und m =
Fredr 0
-
= = ... ...
=
0
De
,
-
und Ye - m ( 4) ,
=
1- 1)
M
Ye(0 4) ,
9
=
9B
gespiegelt d -
für
-
-
I Sedr's Grund (r-Gr
r] 0 Gla
geordnet POLYNOMEN
.
=> = -
o erzeug t & = Min (r ,
r')
·
=
,
· LEGENDRE-POLYNOME
S
:
Pe(z) ( 1)M( z2)mi Pen ne
Pe(z) z (E-1)) =
Son Elov Ellov Pelz)
= -
-
Flächenladungsdichte
=
=> = .
do ·
f)mePeM(z)
-
>
-
-
Flächenladung
=
Sor df o Per(z) =
>
-
bilden
in [1 , 17
vollständiges Orthogonalsystem
aus !
= Kraft XB 1
Il ADDITIONSTHEOREM
= -
vo n
=>
Kraft F -JordFG Eq(or) -Sond : Pe
Goder, e Orthogonalität
mer(e) Yem(0 4) = Pelosa
= =
(Fgo Fog) = -
·
Vollständigkeit : (22 + 1) Pe(z) Pe(z) =
G(z -
z) .
Relation Jde Yem (0 4) Ye'm 10 4)
SinTesinRicos(Y-Y')
I 6 Sie
See Omm' Mit
:
COSY costcost +
· =
=
, ,
MAGNETOSTATIR Mo = 1 , 26 . 10-0 N/A2
sphärische
KONINUITÄTSGLEICHUNG Bübt auf die Po(t) = 1
gem
=
Jar'sCr) re Yem(014) Mit ge =
1-17* *
dV Fdl
g Multipolmomente m
q
=
em
F
Stromstärke P1 (x)
scrit)(t) Il L divj
= x
=-
Stromdichte Trit) =
+ = -Lorenztheraft P2(r) =(3x 1) Yo H
ga
= -
dx =
vdt
=Fadungshaltung
C 0 MONOPOL
t(523
=
Pg(z) = -
3x)
= Esedf ) 0
; C DIPOL
=
= 1
-(352
DEMO
P((z) 30 ,3 + 3)
-1
= -
2 2 QUADRUPOL
Moj
=
F
parallel B rotB(r) = -
X # (r) =
In ~
&
itaußerhaltens =
. ..
ab !
Stromschleife 2 aus ist
Stationäre) Maxwellgleichung Yem 10 4)
mit
stoßen sich
V = XF ,
Sar ↓ (ri0 4) = (Aemr Beme) SUNG VON
Vek
pott )=
-
Yem( 4)
st B= Irr
+
..
, ,
3
Magnet- B(r) =
rot bei Zylindrischer
für geschlossene F
[Iriz) = Ker F) Pelos) e
oeffizient
A
+ =
wobei axialersymetrie
AMPEREBr) SedE Stetig
Im 0 bedingungen
MoSedET(r) "Magnet
=
MolE
=
Randflächen M= 0 , da Erice) Erin
·
= = an =
e
Idakeine
>
-
Wenn r =
0 in VwoX =
0) = be =
0 Punkladung in
Unabhängig n ,
#(0) 0
BezugslopRE
>wenn V bisr => e
=
= d()
=
Magnetische
const
er Entfernung
-
aus
+ =
a =>
Emmen
Abstand) der Wahl des SEPERATIONSANSATZ
Crit entwickelten
F
>
- IDENTITÄTEN für
Laplace-Gleichung AP(F) = -
P(r)
F - a
-
Er) geschrieben
ebenstromscheingos Crotdi
I(r)
↳
f(x)g(y)h(z) PDEZerfä
prant
Gyromagnetisches
=
-
-
als Kombination :
_
~
E verhältnis
!
Se -
impuls
Feldlinien : F
Jede Strömen stellt 00
Anordnung Dipol dar
S homogen geladene Kugel
einen
von aus
großer Entfernung
...
·
W
#dip(r) FrMx Baip(r) = [F(F) m] =>
Drehmoment JxIxB(r)) dr EXO
Greensh =S
DEMO
= - =
=
Tar
mit Relativposition z B. (r-) .
Der
.
1
-
Magnetfelds rot [ (F)
Kraft F äußeren =
FWrag
-
eines
. a20
=
(T(r) &(r) dor (m Bext)
-
= = ra
x
Stromverteilung
:
auf lokalisierte
=
==
div (Mxe)
=
e
=
m
mi
=
für Konst R
Wechselwirkungspotentia
=
S
(Mr
- -
e
(F ~
-
rz Mz
-
To Magnetischer Dipole
- -
5 zweier
-
rz I rCR
2
MAGNETOSTATIK IN MATERIE
-
Mo(frei Trag)
mit
Zerlegung :
ELEKTROSTATIR IN MATERIE
divi
:
- rot B = +
div(Erin) Mikr Ermo O
mikroskopisch unversell rot
↳?
gilt
= =
- ,
Briuro Mojuiro div B
-
0 ↓ Mikro
=
Jfrei Jgebunden + =
Frei +
Tpol +
Trag R
Brikro drei-dir
übereichen
=
Mile roskopisch
gilt unversell div =
O rot =
Potentia
;
rotierend
=
:
15 -
F'l
=
überTeilchen Vek (r) = der (Tretro mit Magnetfeld =M Dielektrische F) EE) P = + =
coE(r)
itdiCr OfrG =
E (r)
=
unabhängig von Materie ~
Normalkomponente 5
Magnetisie = XmF
rotMg
von
Mit
:
Makroskopisch = EXE Co(E)Eitdir T
G TangentikomphF
=
E (5-51) 0 stetig
=
=
↑ . = ist
Magn Erregung # = -M = -
roti
-
-
& ohungelade
Mit Normalkomponente 5
Grenzfan. . Ford
.
von :
EmakroskopischesFeld) n 1
is
G.
spring
-//p 7 Opol
=
R (52-51) =
Ofrei springte
normal
DEMO
0
in >
-
Magnetisierungen
flächenstromdichte
=
normal
für Trei =
O
Ba=Be
auf Grenzfläche (OV)
Hama =
Humm
:
=
anfreinladungen
f
a ls
Die
-argential Komponente
(E-Ei) X =
0 ist
von
stetig
E :
targential E =
EzE) EzDn =
EnDa
=
-
a =
I go
Magnetisierung M n
:
Bo
&
Elektrostatische
=>
tangential
=> AerPeco
Ha He BuMz
BaMn
:
=
Jdr Seri(r) [(r)
= =
- Ex-Me Energie (ridium) W EJvdrD(r) E(r)
=
=
.
Vektorfelder (r) mit die Tr) =0 und
!
RANDWERTPROBLEME :
x =EC) Er)
rot (r) 0 verschwinden d h
. E(r)
Energiedichte
=
0
-
(Baußen (Berl +Ge Fett) Pelost)
=
Binnen) D ↑Mo mit Wer [
.
&
,
i) M const
inganzV
=
- .
-
= = = -
↓
·
-
Polarisation --
ii) T F
-
= 0 in V MitRBaufOV = = -
*-Mag
=
3 Tolz
ZEITABHÄNGIGE FELDER ↓
magnetischfuß
iii) und Drag divF -
MojtCoMdNBAfri+ 3
0 0 V
rotE
in
= -
divE =
=
mit
=
o
=
-Jar'
rad
T
Mit
Frag
-
-
LÖSUNGEN
=
F
rotB
=
div B 0 rot =
frei
(mit Lenz-Regel) = =
=>
Mit M
-
·
+
-
s
mit
-
=>
inhomogene F,
--
oder Ei
L Wellengleichungen
-
&
mit Eichtransformationsfreiheit :
#
-T mitt = E-oNot =>
Irrit) =
coJd3r' ACrit-EIF-F'l)
divergiert für (11 122
8
Leitere
F'l
↳
* (F
für Stromfäden
#
...
,
! E
-
:
mit X
grad
-
T
+
induc = (drj)Fr) EnSEdFTE) Ä (r) = Jut
=
Jeder SedEr Frez( = Sar
-
IF -F'l)
-
-F :
t)
=
100
Leistungsdichte i
IF F'l
= ditE(r
-
>
-
Leistung t) [iqi(EtrixB) Ei
Seme
Leistung Zeit tret (
I mit retarderder KAUSALITÄT !!!)
= .
-I Kind
=
=
Hell R i
=
(inv)
einer Stromquelle)
. =
z B . .
-2-
Energiestromdie St = Et)XI mit Energiedichte wem = [F E 5] = E +B
-
+ .
und Sderdivs
Energiestrom JordF .
5 =
L N]eA
MM
=
.
Kontinuitätsgleichung
div übervolumenvdasleliest
dw
eine
lange spule -JE - PONSCHE =G ditrat = EM
=
const =
·
#
= .
MULTIPOLENTWICKLUNG
SordF ÄCr) SudV F')
au = Sar'pr)- -
Gauß : . =
div ACr) (F -
E(r) = (F)
Er)
·
S FERNZONE Taylorentwickel, In
1F = IF -
F'13
Fläche
y D
DEMO
=> Fluss von F(r) durch Lokalisierte R
,
- ladungsverteilungen
Sor SSEdFrotAlt
=
SrdV rotÄ
Limp
=
0-Raum)
Stokes :
Sul(RE) ( Ico I(r) =
it +F Ei Qij
Mittelwert RIF =
=
mit ) =
POISON-GLEICHUNG
Jd3r'PCF) 29i
-
Monopolmomentq
-
-
=
A() divE(r) <
unabhängig vo n
-
-
=
=
Dipolmoment Sarüs (F) qiFi Ursprungs
⑤
der Wahl des
= =
-
L
Quadrupolmoment EJdr's(r) Xixj'
0⑳
mit
6
gij Symetrisch"
=
"spurfrei,
Qij Qji
[iqi (3xirxie-riore) die Ei Qii = =
differenz =
~ mit
(3xiXi'-Gir)p(r)
Fri Flächendungsdichte O(F) Quadrupolmoment Qij Jdr
=
tangentiale Ex (Ez-En 13
j stetig
Ladungsverteilung
Ver
=
für E Konst W= Komponente Ist
=
=
=
1 ·
t
X spring
komponente (E-En ( =E
>
-
F
p( r)
mit verschiedene norma
(EC) / muss in UM
spiegelsymetrisch p(r)
·
* :
W(F)
.
=
. . -
%
Energiedichte W
...
=
werden
Raumbereiche geteilt 5
Win-ar
-E Dipolmoment # ↑ =
Qi =
0 Vi + j
di
ein 0
Eon Elf
=> =
↑
coulomb-F = Q9i
Ö
·
=
=
Q .
E & = A(r) D( r) p
Kraft
=
Kugelsymetrisch
:
-
-
Dipolfeld Go
DEMO
z B
a G
.
↑
=ein
Quadruparoment =
o
=
L diß =a Tors (3(p) p) -
RANDWERTPROBLEME Lösungsverfahren für
Poisson-Gleichung AI) =
-
--
+ Qij Ot Ent
WECHSEL-
mit
Wirruwas-W(r) =
gext +
(p . ) Eext -
Randbedingungen
für re
räumlich e (5) Raumbereich V ENERGIE
daß in
geg
:
begrenzt (Dirichlet) = W(r) qEext (p)Eext 5 Que
-
Grenzflächen auf OV
Kraft F
· + +
: = =
an
-
·
obion = Flov (Neumann)
allgemein M
Emitwirkende
:
=
Ex Ext
gepfe
M (dr'rx Ext( + F) =
~
=
neeitend" . Konst
s
DIPOL-DIPOL-
WECHSELWIRKUNG Wiz =do(-3-
IF F215 -
geerdet" h 0 und d h
=
Z . .
B , d .
.
,
.
formale auch Mit
-
Lösung ? => Potential einer fiktiven ladungs- KUGELFLÄCHEN FUNKTIONEN
Enterten Gr
=
GREEN'SCHER
verteilung
fr
RandbedingerhalbvonVsodasin Eigenfunktionen von AaYem( 4) ele + 1) Yem 10 4)
+
=
Ful
=
-
I , ,
DEMO
Potential vo n -
Yem(4) = PerCoss) eine
=
Mit Drf(FF) =
0 VF , Fe Punktladung
-
2 = 0, 1 , 2 ....
/oraFG(F . ) rev) G( , ) BILDLADUNGEN (angeerde e 0 e
~
und m =
Fredr 0
-
= = ... ...
=
0
De
,
-
und Ye - m ( 4) ,
=
1- 1)
M
Ye(0 4) ,
9
=
9B
gespiegelt d -
für
-
-
I Sedr's Grund (r-Gr
r] 0 Gla
geordnet POLYNOMEN
.
=> = -
o erzeug t & = Min (r ,
r')
·
=
,
· LEGENDRE-POLYNOME
S
:
Pe(z) ( 1)M( z2)mi Pen ne
Pe(z) z (E-1)) =
Son Elov Ellov Pelz)
= -
-
Flächenladungsdichte
=
=> = .
do ·
f)mePeM(z)
-
>
-
-
Flächenladung
=
Sor df o Per(z) =
>
-
bilden
in [1 , 17
vollständiges Orthogonalsystem
aus !
= Kraft XB 1
Il ADDITIONSTHEOREM
= -
vo n
=>
Kraft F -JordFG Eq(or) -Sond : Pe
Goder, e Orthogonalität
mer(e) Yem(0 4) = Pelosa
= =
(Fgo Fog) = -
·
Vollständigkeit : (22 + 1) Pe(z) Pe(z) =
G(z -
z) .
Relation Jde Yem (0 4) Ye'm 10 4)
SinTesinRicos(Y-Y')
I 6 Sie
See Omm' Mit
:
COSY costcost +
· =
=
, ,
MAGNETOSTATIR Mo = 1 , 26 . 10-0 N/A2
sphärische
KONINUITÄTSGLEICHUNG Bübt auf die Po(t) = 1
gem
=
Jar'sCr) re Yem(014) Mit ge =
1-17* *
dV Fdl
g Multipolmomente m
q
=
em
F
Stromstärke P1 (x)
scrit)(t) Il L divj
= x
=-
Stromdichte Trit) =
+ = -Lorenztheraft P2(r) =(3x 1) Yo H
ga
= -
dx =
vdt
=Fadungshaltung
C 0 MONOPOL
t(523
=
Pg(z) = -
3x)
= Esedf ) 0
; C DIPOL
=
= 1
-(352
DEMO
P((z) 30 ,3 + 3)
-1
= -
2 2 QUADRUPOL
Moj
=
F
parallel B rotB(r) = -
X # (r) =
In ~
&
itaußerhaltens =
. ..
ab !
Stromschleife 2 aus ist
Stationäre) Maxwellgleichung Yem 10 4)
mit
stoßen sich
V = XF ,
Sar ↓ (ri0 4) = (Aemr Beme) SUNG VON
Vek
pott )=
-
Yem( 4)
st B= Irr
+
..
, ,
3
Magnet- B(r) =
rot bei Zylindrischer
für geschlossene F
[Iriz) = Ker F) Pelos) e
oeffizient
A
+ =
wobei axialersymetrie
AMPEREBr) SedE Stetig
Im 0 bedingungen
MoSedET(r) "Magnet
=
MolE
=
Randflächen M= 0 , da Erice) Erin
·
= = an =
e
Idakeine
>
-
Wenn r =
0 in VwoX =
0) = be =
0 Punkladung in
Unabhängig n ,
#(0) 0
BezugslopRE
>wenn V bisr => e
=
= d()
=
Magnetische
const
er Entfernung
-
aus
+ =
a =>
Emmen
Abstand) der Wahl des SEPERATIONSANSATZ
Crit entwickelten
F
>
- IDENTITÄTEN für
Laplace-Gleichung AP(F) = -
P(r)
F - a
-
Er) geschrieben
ebenstromscheingos Crotdi
I(r)
↳
f(x)g(y)h(z) PDEZerfä
prant
Gyromagnetisches
=
-
-
als Kombination :
_
~
E verhältnis
!
Se -
impuls
Feldlinien : F
Jede Strömen stellt 00
Anordnung Dipol dar
S homogen geladene Kugel
einen
von aus
großer Entfernung
...
·
W
#dip(r) FrMx Baip(r) = [F(F) m] =>
Drehmoment JxIxB(r)) dr EXO
Greensh =S
DEMO
= - =
=
Tar
mit Relativposition z B. (r-) .
Der
.
1
-
Magnetfelds rot [ (F)
Kraft F äußeren =
FWrag
-
eines
. a20
=
(T(r) &(r) dor (m Bext)
-
= = ra
x
Stromverteilung
:
auf lokalisierte
=
==
div (Mxe)
=
e
=
m
mi
=
für Konst R
Wechselwirkungspotentia
=
S
(Mr
- -
e
(F ~
-
rz Mz
-
To Magnetischer Dipole
- -
5 zweier
-
rz I rCR
2
MAGNETOSTATIK IN MATERIE
-
Mo(frei Trag)
mit
Zerlegung :
ELEKTROSTATIR IN MATERIE
divi
:
- rot B = +
div(Erin) Mikr Ermo O
mikroskopisch unversell rot
↳?
gilt
= =
- ,
Briuro Mojuiro div B
-
0 ↓ Mikro
=
Jfrei Jgebunden + =
Frei +
Tpol +
Trag R
Brikro drei-dir
übereichen
=
Mile roskopisch
gilt unversell div =
O rot =
Potentia
;
rotierend
=
:
15 -
F'l
=
überTeilchen Vek (r) = der (Tretro mit Magnetfeld =M Dielektrische F) EE) P = + =
coE(r)
itdiCr OfrG =
E (r)
=
unabhängig von Materie ~
Normalkomponente 5
Magnetisie = XmF
rotMg
von
Mit
:
Makroskopisch = EXE Co(E)Eitdir T
G TangentikomphF
=
E (5-51) 0 stetig
=
=
↑ . = ist
Magn Erregung # = -M = -
roti
-
-
& ohungelade
Mit Normalkomponente 5
Grenzfan. . Ford
.
von :
EmakroskopischesFeld) n 1
is
G.
spring
-//p 7 Opol
=
R (52-51) =
Ofrei springte
normal
DEMO
0
in >
-
Magnetisierungen
flächenstromdichte
=
normal
für Trei =
O
Ba=Be
auf Grenzfläche (OV)
Hama =
Humm
:
=
anfreinladungen
f
a ls
Die
-argential Komponente
(E-Ei) X =
0 ist
von
stetig
E :
targential E =
EzE) EzDn =
EnDa
=
-
a =
I go
Magnetisierung M n
:
Bo
&
Elektrostatische
=>
tangential
=> AerPeco
Ha He BuMz
BaMn
:
=
Jdr Seri(r) [(r)
= =
- Ex-Me Energie (ridium) W EJvdrD(r) E(r)
=
=
.
Vektorfelder (r) mit die Tr) =0 und
!
RANDWERTPROBLEME :
x =EC) Er)
rot (r) 0 verschwinden d h
. E(r)
Energiedichte
=
0
-
(Baußen (Berl +Ge Fett) Pelost)
=
Binnen) D ↑Mo mit Wer [
.
&
,
i) M const
inganzV
=
- .
-
= = = -
↓
·
-
Polarisation --
ii) T F
-
= 0 in V MitRBaufOV = = -
*-Mag
=
3 Tolz
ZEITABHÄNGIGE FELDER ↓
magnetischfuß
iii) und Drag divF -
MojtCoMdNBAfri+ 3
0 0 V
rotE
in
= -
divE =
=
mit
=
o
=
-Jar'
rad
T
Mit
Frag
-
-
LÖSUNGEN
=
F
rotB
=
div B 0 rot =
frei
(mit Lenz-Regel) = =
=>
Mit M
-
·
+
-
s
mit
-
=>
inhomogene F,
--
oder Ei
L Wellengleichungen
-
&
mit Eichtransformationsfreiheit :
#
-T mitt = E-oNot =>
Irrit) =
coJd3r' ACrit-EIF-F'l)
divergiert für (11 122
8
Leitere
F'l
↳
* (F
für Stromfäden
#
...
,
! E
-
:
mit X
grad
-
T
+
induc = (drj)Fr) EnSEdFTE) Ä (r) = Jut
=
Jeder SedEr Frez( = Sar
-
IF -F'l)
-
-F :
t)
=
100
Leistungsdichte i
IF F'l
= ditE(r
-
>
-
Leistung t) [iqi(EtrixB) Ei
Seme
Leistung Zeit tret (
I mit retarderder KAUSALITÄT !!!)
= .
-I Kind
=
=
Hell R i
=
(inv)
einer Stromquelle)
. =
z B . .
-2-
Energiestromdie St = Et)XI mit Energiedichte wem = [F E 5] = E +B
-
+ .
und Sderdivs
Energiestrom JordF .
5 =
L N]eA
MM
=
.
Kontinuitätsgleichung
div übervolumenvdasleliest
dw
eine
lange spule -JE - PONSCHE =G ditrat = EM
=
const =
