RIEMANN-INTEGRATION OBERFLÄCHEN INTEGRALE INTEGRALSÄTZE
W
-
vol(A) -vol(B) für BLA
↳
Tangential vektoren ...
d h .
Fläche
.
vol(A) + voL(B) -volln)
(H)
VOL/AuB(
regulär wenn
MamitRapk
R" Saar
=
Lebesgue-meßbar (Jc)
=>
A
Menge
,
= ·
,
wenn int bar .
U det + 0
·
Lebesgue-Maß voln(A) :=
Stdx San =
1x ** -
= Mm offen TECCU R2)
L
A + X = vo : , Lokale Parar .
eine UMFW =
Jede beschränkte offene oder
Kompakte Menge ist
meßbar ! #) vol(A) for 0 Orthonormal- ra
metrischer Tensor
J + (x)TJ +
+
&
(x)
Ill11
4'(x)
a
4'(x)
=
G(x)
.
=
Matrix =
für Ambeschränkt von = Meinear & A ist Un (n-1) ten Dimension Ru
Abeschränkt VOM
der
Volumen Gramm'sche Determinante 34)
von
g(x) =
det (G(x)) =
det (3 T
LA) > lokal als
Graph eine Funktion f
-
DEMO
f A-R beschränkt und fü stetig
Riemann-Sf(x)dx
:
Lokal als
Sw
>
NS-Menge einer Funktion &
Suf(4(y))5g dy
-
regulären
Riemann-integriera in U-R" offen =
>7 ausschöpfendende
Folge (Ar-u)
f(x)dS(x) =
>
-
regulär parametrisiert durch (M) = A
E An eine
mit Am beschränkt
malberich Oberflächen f
An V An integral W R
vo n >
wenn U :
-
äußeres Normalenfeld
=
,
dAr Nullmenge R VaedA :
vol(U) = sußvol(Are) volm (r) Juge dy -(2) 5 S
f(x)
>
An ((x y) Rk VOL(Ar) n(x f(x)) (1
-
Ar-eX(am(x) br(x)3
SwdS) 115f(x)(2)
-
: = = =
=
y = =
+
-
: =
,
=
==
=
,
bz(x1) bn (X1 Xn-1)
1.8x(a)
dimensionales volumen
31 m
n(a) 110x(a)(l
--- -
,
uneigentlichesLimf(k)dx =Sf
-
: =
Saff)dx SanSanci aifexx)
den dx
FUBINI = ...
M als Graph fe (U = RM Rh-m) F l u ss -
JxdivF(x)dx
UMF
Joa < F(x) n(x)dS(x)
von ,
Mist
Nullmenge wenn Meßbar und voL(M)
= O
g Diffeomorphismus Al beschränkt GAUB -
=
,
118 f (x)I)
:
für m= n 1 g(x) 1
,
-
: = +
Transformations satz COAzukoMp
SoaXFCPcu)) RCP(u)) > Eget du
=> auch :
Teilmenge , endl .
Vereinigung
, => Srf(x)dx =
0 .
=
fürf A-R beschr
Jg(A) f(y)dy (af(g(x)) (det]g(x))dx Fläche ergänzen)
:
abzählbare Kompakt ·
Teil einer UMF
R R
,
Mengen , =
:U_ =
Parametrisierung stetig diffbar
AR abgeschlossen Graph G [ (xig() > Ru 3
+
for
1(d
GREENISTONES
Saxf(y)dy = fr dr ja
xd24(y)/)
m= 2
: =
)
-
=
=
4(y)
absolutSalf(x))dx
+
g
:
A-R Stetig ist
Nullmenge ! man = 3 : für IR2
-che
Zirkulation
Standartsimplex 14: =
EXER" (x - -
x = 0 ;
x + - +
xn = 13 = volm(X) =
E Träger von f n : = R" >
-
k supp(f) :=
[xeU/f(x) + 03 STORES Sa < rotF, v > dS(x) =
SoxF(r) dr
(A Kompakt)
Sa dr
UyItivaYartabschatz z
außerdem : <V fxg >dS =
Soaf(r) & g(r)
FUNKTIONEN THERIE faKED MitfExtiy) =
,
-
- Komplex differenzierbar beizo ,
wenn m f) ex i s t i e r t ~ harmonische 1 (dt . GREEN
1 Joaf <8g , v> dS =
Sa(f Vg> ,
+
fAg)dx
d h . Au =
0 & XV =
0
Jox[fdrg-gdrf]dS
.
-holomorph . GREEN
2
f'(z0) VzoEA existiert
SalfAg-gDf)dx
S
-
, wenn wenn =
() = (
-
f(xy)
Dreiecksstreckung
holomorph
- =
f loffen : +
K Stetig
:
-
-ganz wenn f auf ganz
=
,
z0) zo)
=
beliebigen weg mit Richtungsableitung drg(x) g(x + +v(x) /t
Saf((t))j(t)dt
f(z) f(z0) f' (z0)(z O(z über 0
Jjf(z)dz
= = +
-
+ - =
cauchy-Riemann-Dalen =
((t) X(t) if(t)
Integralsatz
-
=
+
DEMO
CAUCHY'scher
jff(t))-j(t)dt =
=
0 flokal konform , wenn f holomorphi ze U f '(z) :
+ 0
vertauschregel
f Konform wenn flokal konform und bijektiv wenn
wegunabhäng integrierbar
Srdnf
Tausensten
,
fastetig konv gl. .
=holomorph(Moral
aufj gegen
U einfach
(ful'konv. gl gegen (f)
integriert werden !
zusammenhäng .
=>
e
.
alle
geschl Kurven i n
U null-homotop
homo
·
wenn Zo wenn
in U
.
.
d h JF [o 1]" F(0 t) (t) und F(1 , t) zo und F(s , 0) F (S 1)
U mit
null-homotop sind
=
>
( U
En
: = =
Jede Potenzreihe P()
-
,
anz" stellt i n
.
.
, ,
Es analytisch
Emanta
=
Unten top
: = ·
Ur Ja mit
gleichen Randpunkten homotop wenn
j)
Lingder
·
=
holomorphe Funktion dar
. ,
UGebiet ihrem Konvergenzradius
S
ist eine
Kreisscheide Kr(a) U ⑧
Vo Un geschlossen frei-homotop wenn in V stetig inenander deformeren zusarenhängende offene
fl
,
= -(m)
·
. , , ,
=
d h JF 201]2 F(at) jolt) und Fse t) je(t) und F(s 0) F(s , ) nicht-teere
Menge FARTORZERLEGUNG F(z) bei an
endzei
. : U Ft = : : = =
=
Sounds
.
, ,
-
① Holomorphie LiOULLE
auf Kreisscheibe Ur(t) =
a + reit 7
to [0 , 25(
der
Ableitung
f((z) = zyk+
+de bedebeschränkteganeine
↳ für (f(a))zM
gilt :
lau An f (z) =
PrdS CAUCHY-
INTEGRALFORMEL
mit du)
② Isoliertheit der NS Konvergenzradius R2 dist(a ,
f(z) =
J f(z + reit) dt Mittelwerteigenschaft
· ++ 0 auf U
holomorph
=
Menge der NS hat top ! => f besitzt Stammfunktion F(z) CAUCHY'SCHER INTEGRALSATZ
↳
·
·
fig holorph auf U :
ZZEU If(zD g(z)} =
hat HP =-= f 9
f- -
mit F(z) : =
Jaf(s)dS a
beliebig (i) Vohomotopewe =
Spof(z)dz Su =
.
f(z)dz
· f Konst in Gek einf .
zsh . =
f(G) offen (Identität e (ii)
B
Hauptzweig des komplexen Logat y nullhomotope =
artz
.
. Kurve f(z)dz =
0
IDENTITÄTSSATE
Ex FzcU :
f(z) =
0
f U
holomorph
:
=
K &
· n-fache NS bei zu El ,
E((z)
:= en(r) = +ie (iii) U einf . zusammen. f in M wegunabhängig integrierbar
EL (zeulf(z) 03 besitzt HinU Wenn f(k) (zo) =
0 kam und fu(zd) + O für fricht Konstant V = U offen f() offen
for
=>
Hoffen f : >D
=
und
F: Stetig
-
K holomorph
analytische Fortsetzung
·
f(R) (z0) >
O
holomorph
-
= JzoEU FRENo und :
If(z)/
=
nimmt in U ein MAX
:
an
ZIfD nimmt Max auf OU an
Mit Uzu = K , wenn F(z)
DEMO
zu f(z) f(70) O
I
=
=
=> If(z)l in zo 190k] MIN => =
LAURENTREI HEN ENTWICK LUNG um Zo RESIDUENKALKÜL
umgebungakt
dh
Ute Restf(z)
. .
hebbar
Mit
von z
filfen homorph Kuzo3
fanalytisch auf
Pfldz
wenn
=> JEERJ20
,
:
/Z-zo(d => (f(z)) = C (Riemann) Residuum Resot =
-L
Pol wenn zu habbar für z(z-zof(z) mit
wenn 7230 1Z-Zole (0 , 2) = zu
wesentlich
, R :
Ordnung gularitatin
für weder nebbar noch Pol
Enezam(z-zo)" (Anzah umdrehungen)
:
Rz (zo)
Kr Konvergiert f(z) =
auf Reklz-ZoltRa
,
, ↳ =
,
analytisch re(R Rz) hatfk-fachen Pol bei
=
für flz) dort Stammfunktion !
a
,
dann besitzt f(z) eine
an(7-Zol an (7-70)- Zo
= [(z-a) =(z)]z
+
Resof
↳ Eines
n1 =
auf Re < Iz-ZoKRz =
0
LNEBENTEIL~ LHAUPTTEILL HT
5 INT E. Einheitskreis i
ab !
↳ bricht bei P nomen => k = 1 :
Reszof = m z (z -zo) ·
f(z)
annte =mzzf
=> k =
2 :
Restof
mit as ↳ funktionieren isolierte Singularitäten
=
ach
&
f(z) = mith'(0)
um
GradTERSCHEN
+0 = Restof
= GEOMETRISCHE REIHE ↳ a -
1 heißt RESIDUUM von f(z) bei zu
for1z-zol
#
HT 0 nicht
↳ f(z)
analytisch auf 1z-zol < Re => =
wenn aso
230
8
angegeben
wenn Konvergenzbereich OLIZ-ZolcR : =>
FALL-
&
zo hebbar <=> HT verschwindet
&ach ke ~
Polnterordnung HT bricht nach
A-z
=
-
zu
>
-
KIl :
hebbare Singularität ka b(0) =
By(0) (Ba(0)
:
Poll-kltordnung Ordnung (n) ab f) =
&
ab
↑
,
↑
wesentlich
enthalt
Zu enthalt O
< HT bricht nicht ab
verschiedene
Kab(0)
paarweise *
> danach einzeln entwickeln
jeden Summanden
-
MABTHEORIE Menge [ [0, 27
Mi Maß auf E
,
FOURIERANALYSIS mitf-1E
+
linear
Pfl = 2x = 2) Potenzmenge
mit von wenn
Mi =n s
-
DEMO
F D
M(UAil [m/Ai) F(r)
*
"San eikf(x)dx
:
disjunkte AitE für
(25)
: =
[P(R) O-Algebra
-
erweitern *
wenn =
,
G-Algebra
-
i) At 2 A b ) At [
(R & , , M) Maßraum vollst .
=> f ist stetig
=> =
Fourier transformierte I
MitS
ist beschra
(1 T)
wenn
MCA) 01 BA M(B) 0 =>
1") Topologischer Raum
= = =
ii) AieZSien Wen (a
Aid
[(k)
=
ikn
,
4) (k)
-
mit il f(x
g(x)
.
= -
= =
e
iii) fil-R meßbar
de [
Emin7 T Borel &- Algebra
; DeE => , wenn
inx
E(k 4)
ii)
g(x) f(x) y(k)
ExeR/fektbes
Telgeraderegradeeine
=
VER
=
e
= -
:
= alle bzgl [meßbaren Mengen
S
⑫
BANACI- ABER beschränkt
.
123
1f(X k) = Fk) -
ungerade
viilg(x) f(E) >(k)
, = 0
R meßbar Se IdM
= .
exis
( E) Meßbarer
S kl
=
=
wenn
-
Raum , ·
=>
7k und Zerlegungen und andersrum für f E
,
PARADOX
>
FALTUNG
Bi
* Ai B
i'k F(k)
*
Spn f(x y)g(y) dy
=
in
(afdM SmNa(x) f(x)dx Ableitung
=
mit
fxg (fxg)(x)
; :
0f(k) g
f i -
-
= = : =
auf Borel-Algebras existiert nur ein
=
Maß disjunkte Teilmengen ,
=>
-
Saxf(x) = (0) (fxg) * n f x (gxh)
↓
mit (f * g)(x)
M(A x) M(A) FA XeRn wobei f ü definiert ist
=
5 Jos
d
mit Xa(x) I(k)
+
Vi
Augment f(n)(k)
=
.
S "
Bi
. .
zu
, :
(ik)
.
=
=
n)
M(Q) fx(g +
fxg f xh
voL(Q)
(25) 27 G
= +
FQuaderech Jah
gedreht)
=
fxg
nur verschoben
mit
Sammf(xixn]dxnd 6Y (i)k
.
=
g
.
FUBINI x f(x)
=
LEBESGUE-MAB
= mit
g(x) =
11 fegIle = 11 flln :
Ilg111
= (ux f)(x) = (u() = f)(x)
3e
integrierbar wenn
SelflaM Inverse F = (X) fretraf
Lebesquentegratomerse
=> ,
figf
Ist
=> SIf1dx 11 flle
"2 San ein f(k)
=
f(x) (2) de
-
=
M it F(t) M(x(-2(f(x) > + 3)
=> arch : max
(fig) =
E(f g + + 1f -
g) fafdM
Snicht
: =
g)
1
(f (f
min
g) ( (f
=
n
-
+
g
-
SrgdM
-
umkehrfunktion (0 f(0)] Schwartzraum
,
= von f [0 17 :
,
>
-
,
=
=
Raum schnell abfallender "Funktionen f(x +D ) = O
(f(x)dx S : F(t)dt
,
=> in
...
[fe 20 (Rh , ¢ ) /Va BEIN." &Pf(x)
*
SCR")
=
SATZ der MONOTONEN KONVERGENZ =>
7G ( (R =
feS(R) :
: =
,
:
X1 + X beschränkt]
SfaM
,
Ist = O
mSfndM = Founertransformierte lobwoh nicht priodisch. .
"Spf)
-
Offst- fumeßbar mit fricht 20 0]
find
f=
,
·
SATZ JrnF(x)
der MAJORISIERTEN KONVERGENZ
g(x)dx
A
g)
n
f ü Skalarprodukt (f , :=
an an figeScru)
>
-
↑ :
. .
[fn : meßbarzstetig und En existiert fü
<f , f)1P
i)
g(x) + (x)
Norm 1/fllp : =
2P(R) EfiR &Erlf(lodr >03
x +>
Jogndm = gndr
und +(0 , 0]
7g :
int bar .
, sodass En :
Ing >
:= + = lineare und Abbildung
x
-
-
X +>
f beschränkt 20 (2) if meßbar/7 If()) füh ii) +E SCRU) => FESCRY) M
Egnfü Konvergent )
:
U
stetig integrierba. (für [Sigulam ! S
: =
=>
:
beschränkt ,
< 00 = .
p-mal integrierbarer Funktionen
- -
Fit bijeretiv =
2
iii) X f(x) f Sp(F(k)12dk
~
Raum x + >
f integrierbar lauft) !
-
: K Kompakt-- DStetig = A und B
R2AXB Relation zu
in)x - f(x)
54 KIEn/Ynl ]
.
+>
wobei (P(R) := < =
AUTO MORPHISMUS auf SCRY)
Äquivalenzrelation &, g
das
R & AXA auch :
fe2P() fllp 0 = M[x R(f(x) + 03 =
0 ↳ (Rn) = L (M) = (IRY)
Cauchy-Schwartz
=
für 11
EyAlxwy]
=
:
[X] Kf g)) 11 Fgl)
E
Ex z :
: = :
,
=
+ 11 f1lz-IlgIlz in 10 , 07
mit Xwy , y ,
Äquivalenzklasse von XeA
(() = 20()/v mit fugz f =
gf . ü
Formende
.
X-X
+=
·
·
X
y
=>
ynx A(w [[X](x = A3 Hölder(pgeG 0]) ,
: 1 :
f.
ge( =
IIfglIn -IflipIIglla
fllp
:=
[f]llp 11
Il flla inf[cER/1f(x)) 3 II
= =
: = = c fü XnZ für g =
p
=
Xy1ynz Quotientenmenge beg.
~
(SX (f(x)(dx(Sk(f(k)(dk)
=>
Heisenberg : 14
. ·
Banachraum !
=
für peG 0] ,
ist (LP() ,
Il ·
11p) ↓
