Notizen

Arithmetic and geometric series

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Kurs
Mathematics

Hochschule

Find how you can do geometric series and progression, arithmetic progression and series in this document.It has formula and easy to understand series.There are questions for practice after each content to enable you understand more.

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Hochgeladen auf 13. februar 2024
Anzahl der Seiten 13
geschrieben in 2023/2024
Typ Notizen
Professor(en) Dr.charles
Enthält Form 3-form 4

arithmetic progression

Hochschule Mittelschule
Mathematics
Schuljahr 1

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SEQUENCES AND SERIES

INTRODUCTION TO SEQUENCES

Consider a scientist doing an experiment, he is collecting data, let us say, every day. So put x1 to
be the data collected in the first day, x 2 to be the data collected in the second day and so on, and
xn is the data collected after n days. Clearly, we are generating a set of numbers with a very
special characteristic; there is an order on the number that is we naturally have the first number,
the second number and so on. A sequence is by definition a set of all real numbers or finite set
of real numbers with the natural order given as xn n1 .

Range

Consider the sequence xn n1 .The set x1 , x2 , x3 ...  xn : n  1,2,3,..., is called the range of the
sequence. In the range, there is no order.

The sequence function f (n) is the operator that generates the n th term of the sequence. In
general, f (n)  xn . Where xn is the general term of the sequence.

Example

If n  N in both cases (a) and (b), determine the range for the following sequences,

a) n 
2
1n  4

 2 
b)  
 3n  1 4n8

Solutions

a) f (n)  n 2 , 1  n  4 , that is n  1,2,3 and 4
f (1)  12  1  First term.
f (2)  2  4 2
 Second term.
f (3)  3  9 2
 Third term.
f (4)  4  16 2
 Fourth term.

Therefore n 2 1n4  1,4,9,16
2
b) f ( n)  , 4  n  8 , that is n  5,6,7 and 8
3n  1

, 2 1
f (5)    First term.
3(5)  1 7
2 2
f (6)    Second term.
3(6)  1 17
2 1
f (7)    Third term.
3(7)  1 10
2 2
f (8)    Fourth term.
3(8)  1 23

 2  1 2 1 2 
Therefore,    , , , 
 3n  1 4n8  7 17 10 23 
If the general term is not given, then it may be impossible to determine it uniquely even if
many of the initial terms are provided. However by careful observation (i.e by inspection
and trial and error) a possible general term may be identified.

Example
Express the following sequences in the form xn n1
i) 7,11,15,19
4 7 10 13
ii) , , ,
1 7 17 31

Solutions

i) The difference between two consecutive terms, d  4 .
Let
S  (7,11,15,19,...)
S  3  (4,8,12,16,...)
s 3
 (1,2,3,4,...)  nn1
4
s 3
 nn1
4
S  3  4nn1
S  4n  3n1
ii) The set of the numerators is 4,7,10,13  S N
The set of the denominators is 1,7,17,31  S D
Numerator: The common difference d  3 .

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