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Einsendeaufgabe Statistik I - Wahrscheinlichkeitsrechnung, bestanden & korrigiert (2023)
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Bestandene Einsendeaufgabe aus dem Modul "Statistik I" mit Kommentaren.
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THOENES, JoshuaFB2823GR814
Psychologie (B.Sc.) (8 Sem.) PO:04/21
Einsendeaufgabe
Statistik 1 - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
Aufgabe 1
Ein Trickspieler hat eine Münze so manipuliert, dass nun in 40% der Würfe „Zahl“
gezeigt wird.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(„Zahl“)?
Erhält man bei einer manipulierten Münze in 40% aller Würfe das Ereignis „Zahl“ beträgt die
Wahrscheinlichkeit 1 - P(„Zahl“) = 0.4.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(„Kopf“)?
Wenn eine Münze so manipuliert wurde, dass in 40% aller Würfe das Ereignis „Zahl“ auftritt
dessen Wahrscheinlichkeit P(„Zahl“) = 0.4 beträgt, lässt sich auf die selbe Weise die
Wahrscheinlichkeit P(„Kopf“) = 1 – P(„Zahl“) = 0.6 berechnen, da nur eines der beiden
Ereignisse eintreten kann.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei Würfen mindestens einmal „Kopf“ zu
bekommen?
Basierend auf der obigen Wahrscheinlichkeit P(„Kopf“ = K) = 0.6 und P(„Zahl“ = Z) = 0.4 ist
die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal „Kopf“ bei zwei Würfen zu erhalten in drei von vier
Ereignissen möglich. Wenn der Ergebnisraum Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ} = 1 lautet wird nur bei
dem Fall (ZZ) kein „Kopf“ geworfen. Es gilt also die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis
auszurechnen: P(ZZ) = 0.4 * 0.4 = 0.16, das dazugehörige Komplementärereignis P(K ≥ 1)
beschreibt dabei alle Vorfälle bei dem mindestens einmal „Kopf“ geworfen wird und beträgt:
1 – P(ZZ) = 0.84.
d) Der Trickspieler schlägt Ihnen ein Spiel vor: „Ich werfe meine Münze zweimal. Wenn
mindestens einmal Kopf erscheint, geben Sie mir 20 Cent. Ansonsten gebe ich Ihnen 1
Euro.“ Berechnen Sie den Erwartungswert dieses Spiels und entscheiden Sie, ob Sie
bei dem Spiel mitmachen würden.
Der Erwartungswert E(X) berechnet sich durch die aufsummierten Produkte der Ereignisse
mit ihren Wahrscheinlichkeiten und lautet für dieses Spiel: E(X) = (-0.2) * 0.84 + 1 * 0.16 = -
0.008. Damit ist das Spiel minimal unfair, da im Durchschnitt pro Versuch ein Verlust von
0.008 Euro oder 0.8 Cent entsteht.
Seite1 PFH-Private Hochschule Göttingen 25.02.2024
, THOENES, Joshua
FB2823GR814
Psychologie (B.Sc.) (8 Sem.) PO:04/21
Aufgabe 2
Das Spiel „Schere – Stein – Papier“ ist ein Spiel für zwei Personen. Jeder der Spieler
wählt gleichzeitig eines der drei Symbole Schere, Stein und Papier. Dabei gilt: Die
Schere schneidet das Papier - wählt also „Spieler A“ Schere und „Spieler B“ Papier,
gewinnt „Spieler A“, wählt „Spieler A“ Papier und „Spieler B“ Schere, gewinnt
entsprechend „Spieler B“. Weiterhin wickelt das Papier den Stein ein (= Spieler, der
Papier gewählt hat, gewinnt) und der Stein macht die Schere stumpf (= Spieler, der
Stein gewählt hat, gewinnt). Entscheiden sich beide Spieler für dasselbe Symbol, wird
das Spiel als Unentschieden gewertet und wiederholt.
e) Betrachten wir zuerst nur Spieler A. Beschreiben Sie den Ergebnisraum für die
Entscheidung von Spieler A. Welche Wahrscheinlichkeit hat jedes einzelne der
Ergebnisse (Elemtarereignisse), wenn wir davon ausgehen, dass die Spieler sich rein
zufällig für eines der Symbole entscheiden?
Der Ergebnisraum Ω = {(Schere = SC), (Stein = ST), (Papier = PA)} = 1 beinhaltet drei
Ereignisse die zufällig gewählt werden und somit dieselbe Wahrscheinlichkeit aufweisen, teilt
man die Ergebnismenge durch drei erhält man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen
Elementarereignisse P(SC) = 1/3, P(ST) = 1/3 und P(PA) = 1/3.
f) Geben Sie entsprechend den Ergebnisraum für die Entscheidung von Spieler B und
die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse dieses Zufallsvorganges an.
Da Spieler B dasselbe Spiel spielt und dabei wie Spieler A zufällig entscheidet welches
Symbol er wählt sind sowohl der Ergebnisraum als auch die Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Elementarereignisse die gleichen wie bei e). Ω = {(Schere = SC), (Stein = ST),
(Papier = PA)} = 1 und P(SC) = 1/3, P(ST) = 1/3 und P(PA) = 1/3.
g) Betrachten wir nun die Entscheidungen beider Spieler zusammen. Beschreiben Sie
den Ergebnisraum für ein einzelnes Spiel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit jedes
einzelnen Ergebnisses?
Wenn davon ausgegangen wird, dass in einem Spiel jeder Spieler sein Symbol gleichzeitig
und damit unabhängig vom Gegner wählt, diese aber dennoch pro Durchgang hintereinander
aufgeführt werden sieht der Ergebnisraum wie folgt aus: Ω = {SCSC, SCST, SCPA, STSC,
STST, STPA, PASC, PAST, PAPA). Die Wahrscheinlichkeit für alle neun möglich
eintretenden Ereignisse ist gleich und beträgt basierend auf den Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Elementarereignisse aus e) und f) für P(SC) = 1/3, P(ST) = 1/3 und P(PA) = 1/3,
1/3 * 1/3 = 1/9. Die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse ist somit das Produkt der
vorrangegangenen Elementarereignisse.
Seite2 PFH-Private Hochschule Göttingen 25.02.2024
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