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Prüfungsaufgaben + Musterlösung Matrizen HM1

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Kurs
Matrizen

Hochschule
Duale Hochschule Baden-Württemberg Karlsruhe

Dieses Dokument bietet eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben und Lösungen im Bereich der Matrizen, speziell konzipiert für Studierende im Bachelor of Engineering (B.Eng.) Studiengang. Matrizen sind ein grundlegendes Konzept in der linearen Algebra und spielen eine entscheidende Rolle in verschi...

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4.Übungsblatt

1. Aufgabe

Gegeben sind die Matrizen
0 1 0 1 0 1
2 7 5 0 3 1 2 1 3 4 2 1 3
B 1 3 0 4 1 C B 2 0 2 5 0 C B 0 3 0 C
B C B C B C
A=B C
B 5 2 3 5 0 C, B = B
B 4 3 7 5 2 C und C = B
C B 1 2 5 C.
C
@ 6 1 2 1 3 A @ 3 1 2 2 3 A @ 3 2 2 A
1 0 1 3 7 1 4 6 3 0 7 5 1

Zeigen Sie, dass A · C + B · C = (A + B) · C gilt.

2. Aufgabe

Gegeben sind die Matrizen
0 1 0 1
1 1 0 ✓ ◆ 1 4 2
1 4 2
A = @ 2 3 5 A, B = , C=@ 0 1 1 A
4 0 3
0 1 4 3 2 5
✓ ◆
1 0
und D = .
0 1

Berechnen Sie alle möglichen Matrizenprodukte.

Ergebnisse:
0 1 0 1 0 1
1 4 5 1 5 1 7 11 12
A·A = @ 8 12 35 A , A·C = @ 17 5 32 A , C·A = @ 2 4 9 A,
2 7 21 12 9 21 7 8 30
✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆
7 15 28 5 12 12 1 4 2
B·A = , B·C = , D·B = ,
4 1 12 13 10 23 4 0 3
0 1
7 4 8 ✓ ◆
1 0
C ·C =@ 3 3 6 A, D·D = .
0 1
18 0 33

, 3. Aufgabe

Berechnen Sie die folgenden Determinanten:

a) mit der Definition
1 2 5 7
6 1 0 3
D=
2 4 10 14
0 3 5 8

b) indem Sie die Matrix zuerst in eine obere Dreiecksmatrix umformen
1 2 0 0 0
3 2 3 0 0
D= 0 4 3 4 0
0 0 5 4 5
0 0 0 6 5

c) indem Sie die Matrix geeignet umformen
1 2 3 0
0 1 2 3
D=
3 0 1 2
2 3 0 1

d) indem Sie die Matrix geeignet umformen
1 1 0 0 1
0 3 41 17 99
D= 0 0 2 3 24
0 0 0 1 8
2 2 0 0 2

Ergebnisse:
a) D = 0 b) D = 640 c) D = 96 d) D = 24

Wiederholung Komplexe Zahlen:
Alte Klausuraufgabe
p !
2 3 5i 3 p
Gegeben ist die komplexe Zahl z = p 3 3i .
3 3+i

a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von z.
⇡
b) Berechnen Sie alle Lösungen w 2 C der Gleichung w3 + i · ei 2 = 0 und geben
Sie diese in kartesischer Form an.

Ergebnisse:
p 1 1p 1 1p
a)z = 3 i5 b) w0 = 1, w1 = +i 3, w2 = i 3
2 2 2 2

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