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Zusammenfassung Untersuchung ganzrationaler Funktionen
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Lernzettel/ Zusammenfassung zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen E Phase
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-mothematik[hurze Wan
.]
Was sind Funktionen ?
gunerationale
↳ Summe Potenzfunktionen EN hEIR
aus einzelnen mit dem Exponenten n und den Koeffizienten
Bsp.: -
2x5 + 5x" -
Ex + 3
↳ achsensymmetrisch :
Grad 5
f( x)
-
= f(x)
nur
gerade Exponenten
! der punktsymmetrisch
Grad
:
u einer
ganzrationalen Funktion f) x) = f(x)
ist der Wert des höchsten Exponenten nur
ungerade Exponenten
Nullstellen Funktion
einer
ganzrationalen
:
↳
allg .
M .
A: A(x) =
0
Nullstellen direkt ablesen zu können unterteilt
um die einer
ganzrationalen Funktion man die
Gleichung in
einzelne Lineartaktoren :
Bsp .:
f(x) x3 + x)
= -
5x + 3 =
(x + 3) (X . -
1) = Nullstellen :
-
3 un 1
7 I hat höchstens drei Nullstellen
,
-
da n= 3) elnache Nullstelle - kein Vzw . (-zu- ;
+
zu +
doppelte Nullstelle >
-
Vzw .
(+ zu
-i
=
+u + )
dreifache Nullstelle -Vzu .
Mit Sp( +
zu -i
-
zu )
+
Kriterien für A mit einem Grad n :
H) A hat höchsten i Nullsten
(2) Ist der Grad n von 1 ungerade , so hat f mind .
eine Nullstelle
Monotonien und Extremstellen
f(x) f(x)
:
# f"(x) &
1"(x)30
& -
0
>
>
>
-
Wenn f'(x) 0 - A
steigt streng monoton & "(x)8
>
-
wenn 1'(x) 0 - A fallt
streng monoton
Extremstellen führt dies auf
Wechsel der
Ableitung
=> Durch Monotonie
Bildung
die In der ein Vorzeichen
einen strengen erfolgt von . also .
zurück.
Wechsel an der
y-Achse
weitere
Wichtige Zusammenhänge :
1"Ixe) o
3 Kriterium mithilfe
Stelle Xe eine Nullstelle aufweist dann existiert im Hochpunkt , wenn
Wenn
Ausgangsgraphen ein ist
>
-
an , .
wenn Nullstelle "(Xe > ist
Stelle aufweist , dann existiert im
Ausgangsgraphen der Zweiten
Ableitung
>
Xe eine ein Tiefpunkt wenn O
-
an ,
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