Stochastik Zusammenfassung

und Ervvisier
ren
-
1 schacht
=


&




6 ①




biswiel
wahrscheinlichkeiten statistiken
Für einen Einsatz von IE darf man aus einer Urne zufällig zwei Kugeln ohne zurücklegen ziehen
.

In der Urne befinden sich vier rote und zwei blaue Kugeln
Wenn beide Kugeln blau sind erhält man ,
3E ,
wenn genau eine der Kugeln blar ist ,
erhält man It.
Ansonsten erhält man keine Auszahlung.

a) Bestirre die Wahrscheinlichkeiten dafür das ,



(A) zwei blaue Kugeln gezogen werden
(B) eine blaue Kugel gezogen wird
(C) keine blaue Kugel gezogen wird


MERK




&
ufadregeln :




5- e Produktregel :
um die W-keiten eines

W-keiten entlang
Ergebnisses zu


Pfades
bestimmen Müssen die
.


Ergebnismenge :
S =
!I
des Zugehörigen im
Bauridiagramm
Multipliziert werden
.


= Summenregel :

gehören zu einem

werden ihre W-keiten addiert.
Ereignis Mehrere Pfade im
Bauridingvarim so
Gegenereignis . E =
1 -



PIE)


Mindestens 2 :
PlX =
2)
(zweiblare
↑ Kugeln) =
3 -i .




Pleine blaue Kugel) -
Plbrl-Plubl : 5 - .



Hichstens 2 :
P(X = 2)
↑ (keine blare Kugel) =

Plur) =3. i=
"
:
E M .
trifft mindestens zweimal
b) Bestimme den Erwartungswert des Gewinns und interpretiere das Ergebnis .



↓
Der Erwartungswert E(X) gibt an welcher Wert für die Zufallsgröße X (hier Xhewinn) im Durchschnitt auf
E
:




trifft nächstens einmal"
,




lange Sicht zu erwarten ist .
.
M .
&-


E(X) =

XiP(X =

x 1
) +
X P(X =
x) ...
"
Xn
:



P(X =
Xn) T

Ein Spiel heißt fair ,
wenn der Erwartungswert für den Gewinn ist.
&
&
Gewinn :

Auszahlung Einsatz -




(b , b) (b r)
, 0 .
(r b) (vir)
.




Gewinn X: 2 & 1
&
-




1
PIX =
X , 1 15 5 I

[(X) 7 55 1 55 -1 -E 0 27
-
= + .
.
~ -




.




Bei diesem Spiel verliert man auf lange Sicht durchschnittlich ca .
27Ct pro Spiel .




[

, Bei einer Lotterie beträgt der Einsatz 1E .




Man dreht das Glücksrad zweimal .




Bei zwei gleichen Farben erhält man <E ,
sonst nichts .




a)
bisiel3
Bestimmen Sie den Erwartungswert des Gewinns .




E
X :


Auszahlung in


Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit das bei fünf Würfen mit einer idealen Würfeln
Auszahlung Xi ZE O E ,




al mind. eine Sechs
hewinn in E 1 E -



1E

↳.+ 2 % -51-p =I Plmind eine 6) =
1-Plkeine Sechs) =
1 -

15)* =
1 598
P(X Xi)
.
.
. .
=




E(X) =
1 .



5 +
1 1)
- .



5 = -



5 =
-



0 25
Gegenwahrscheinlichkeit 1-P
Wkt für eine 6 :E; restliche Zahlen
.

.




5 Würfe
6) Verändern Sie den Einsatz so ,
das das Spiel fair ist .




6) nur gleiche Argenzahlen fallen
Damit das Spiel fair ist muss der Erwartungswert (
ergeben .




Pl ,
nur gleiche Augenzahlen") =
6 .

15 1512 = =
0 0008
,




1 -


0 75
.
=
8 , 75
6 mögliche Zahlen
Wikt für eine Zahl
Bei einem Einsatz von 75ct
.




5 Würfe
~ äre das Spiel fair .




(I die erste Sechs erst im fünften Wurf fällt
1) Verändern Sie die Auszahlung bei zwei versch Farben .
so , das das Spiel fair ist.


Damit das Spiel fair ist
Plerste Sechs im fünften Wurf") =
/" . =
0 080
der Erwartungswert (
,
muss
ergeben .




Wkt für alle anderen Zahlen
Auszahlung X LE A
.




Wikt für eine Zahl
.




3 den ersten
5
in Würfen
P(X =
Xi) J

↓I nur im dritten Wurf eine Sechs fällt
E(X) =
1 :
2 .

5 +
a
.


5 =
1

5 . 1 1-6
/)" -
=
+
a
Pl nur im dritten Wurf") = =
0 000
a .

5 =
= 1 : ,




a = 0 4
e) Sechsen fallen direkt hintereinander
,

zwei
genau


bestel 2 P(E) =
2 .



(5)"()3 =
0 064
,




↳ Möglichkeiten : 1 .
+
2 Wurf oder 2
. .
+ 3 .
Wurf oder 3. h .
Wurf oder 4 .
+ 5
.
Wurf
Wikt für eine Zahl
.




restliche Zahlen
< mal 2 Sechsen würfeln :
8 (1)
=




.
3 Möglichkeiten , die noch offen sind