strecken und verschieben: spiegeln:
Der Graph der Funktion g(x) = a * f(x - c) + d (a, c, d e. R, a ≠ 0) Der Graph von g entsteht aus f durch:
entsteht aus dem Graphen der Funktion f durch: • eine Spiegelung an der x-Achse, wenn g(x) = - f(x)
• Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a| • eine Spiegelung an der y-Achse, wen g(x) = f(-x)
• Verschiebung in y-Richtung um d • eine Spiegelung am Ursprung, wenn g(x) = - f(-x)
• Verschiebung in x-Richtung um c
Symmetrie Verhalten gegen +- oo
Der Graph einer Funktion f ist genau dann … Für ganzrationale Funktionen f vom Grad n gilt:
• achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) für alle x e D f • bei geradem n und positivem an :
• punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) für alle x e Df für x → + oo gilt f(x) → + oo
für x → - oo gilt f(x) → + oo
Beispielaufgaben: • bei ungeradem n und positiven an :
S. 140/5 für x → + oo gilt f(x) → + oo
Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie zur x-Achse für x → - oo gilt f(x) → + oo
bzw. zum Ursprung.
a) f(x) = ~x2 + 4 b) f(x) = x * e-x2 c) f(x) = x * sin(x)
x2 c) f(x) =
X. sin(x)
a) +(x) vx + 4
-
=
b) f(x) =
x -
e
↑ ( X)- = -
X. Sin ( -x) = -
X .
1-sin(x))
- xa xx
V( y)a + 4) vx + 4
-
↑ ( x)
-
- = -
= =
f(x) fl x)- = -
x .
e = -
x -e = -
f(x) =
X
-
sin(x) =
f(x)
↳ Der
Graph ist achsensymmetrisch ↳ Der
Graph ist punktsymmetrisch ↳ Der
zur y-Achse .
Graph ist achsensymmetrisch
zum Ursprung zur y-Achse .
S. 141/11
1 3 b b+4
a) Berechnen Sie I x 3 dx . Bestimmen Sie damit I ((x - 2)3 + 1 )dx . b) Es ist I f(x)dx = 1 . Bestimmen Sie damit I f(x - 4)dx..
0 2 a a+4
al(x ) bjxax x
*
ax =
1x =
E -
4)ax =
1
j1x-a(3 +
1ax a+ 4
itaxi
Skizze :
1Y
gax =
1x- 293 +
12 ↳ muss gerten ,
da sowohl die Integrationsgrenzen ,
als auch der Graph um 4 in X-Richtung
f(x) x3
=
-
1 verschoben wurden . Deshalb ändert sich das
b"x
=
k + 1 =
E Integral nicht.
I
S. 141/13
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ~6 - x . Ihr Graph ist G f j 6]
a) Di 00 :
= -
a) Geben Sie die Definitionsmenge von f an und zeichnen Sie G f Y Winkelhalbierende
4 1.
b) Beschreiben Sie, wie G f aus dem Graphen der Funktion g mit g(x) = ~ x hervorgeht. V6 x
f(x) =
c) Begründen Sie, dass f umkehrbar ist. Geben Sie einen Term der Umkehrfunktion f- an.
-
2
-
d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f und f.- a 16
b) f (x) =
V6 x - =
VE 6 +
=
VTx b) -
↳ g(x) wurde an der y-Achse gespiegelt und um 6 nach rechts verschoben d) ↑ IX) und F(X) schneiden sich auf der
ersten Winkelhalbierenden :
6) f'(x)
=
116-X) *. (1) =
avo-10 - Damit ist f(x) streng monoton fallend
* ↑ (x) = X
und somit umkehrbar
Wi 50 [ 12
=
: + 00
* zu jedem -Wert gibt es nur einen y-Wert V6 x - =
x
y
=
V6 - x' 12
>
-
es darf keine Monotoniewechsel geben
6 -
X = x2
ya =
6 -
X
Xa + x -
6 =
0
MNF 3 Xa 2
ya
: =
x X, = -
=
6 -
-
~
y
=
6 -
X2 nicht definiert
↑ (x) =
6 X mit Di =
50 : + 00 [ Vi
+ (2)
-
= =
2 =
S(2(a)
, Satz 1: Satz 2:
-Eine ganzrationale Funktion vom Grad
n hat höchstens n Nullstellen.
Ist n ungerade, dann hat f aufgrund des
Verhaltens für x → +- oo mindestens eine Nullstelle.
Satz 3:
-
Gegeben sei eine ganzrationale Funktion f der Form: f(x) = (x - a) k* g(x), wobei g(a) ≠ 0 und k e .N \ {0}
k-fache Nullstelle
• für k = 1 schneidet f an der Stelle a die x-Achse
• für gerades k hat der Graph von f an der Stelle x = a eine Extremstelle auf der x-Achse
• für ungerades k (k ≠ 1) hat der Graph von f an der Stelle x = a einen Sattelpunkt auf der x-Achse
Beispielaufgaben:
S. 145/5
Der Ausschnitt des Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f zeigt
-
sämtliche Schnittpunkte mit der x-Achse. Bestimmen Sie einen geeigneten
Funktionsterm möglichst niedrigen Grades.
f(x) a (x +
2) X (X 1)2
-
-
= . .
↳ a bestimmen mit Punktprobe mit Pl-11-1)
f( 1)
-
=
a .
)
-
1 +
2) -
(
-
1) .
(
-
1
-
1)2 = -
1
= a -
1 -
1) .
4 = -
49 =
=
1
a
i
=
↳ f(x) =
f .
(x +
2) -
X .
(x -
1)a
S. 145/9
Geben Sie geeignete Werte für a, b und c so an, dass der Graph G f der Funktion f mit
a) f(x) = (x - b)a * (x - b + 1)c bei x 1 = 3 einen Tief- und bei x2 = 2 einen Sattelpunkt hat,
b) f(x) = a * (x - 2c)b - 3 bei H(-2/-3) den einzigen Hochpunkt hat.
a) f(x) =
(x
-
b)a .
(x
-
b + 1)a b) f(x)
=
a -
(X -
2c)b -
3
↳
für D =
3 entstehen bei X, =
3 und X2 =
2 Nullstellen mit H(-2) 3) -
↳ für a =
2 Ihauptsache gerade) entsteht bei X =
3 eine Extremstelle
↳
,
entstanden aus giX :
↳ für c =
3 Chauptsache ungerade) entsteht bei Xz
=
2 eine sattelstelle g(x) =
a .
(X
-
2c) mit H(-210)
Probe :
Tiefpunkt ? ↳ damit a >0 ,
D =
2 & C= -
1
(X-3/2 /X-2)3 bei untersuchen sodass gilt H1-21-3)
:
↑ (x) = ·
auf Vzw v , =
3 >
-
mit Testwert No =
4
+ (4) = 12 .
23 =
810
↳ Da der Graph bei Xo =
4 Oberhalb der x-Achse liegt ,
muss bei X, =
3 ein
Tiefpunkt auf der X-Achse liegen .
S. 145/11
Es ist g eine ganzrationale Funktion. Für die Stelle x = a mit a e R gilt g(a) > 0. Betrachtet wird die Funktion f mit
f(x) = g(x) * (x - a)2 . Zeigen Sie mithilfe der Ableitung, dass es sich bei x = a um eine Minimumstelle handelt.
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