Rekonstruieren einer Größe, Integral als orientierter Flächeninhalt, Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Bestimmen von Stammfunktionen, Stammfunktionen und ihre Graphen, Integral und Flächeninhalt, Rotationskörper und ihr Volumen
-> mit Beispielaufgaben
IV Integralrechnung
Änderungsrate: Bestand:
Kennt man die momentane Änderungsrate einer Größe, so kann man die Gesamt- Geschwindigkeit Weg
änderung der Größe rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt f' f
zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. f F
Beispielaufgaben:
S. 92/7
Dargestellt ist die Durchflussrate einer Leitung, die einen Behälter befüllt bzw. entleert.
a) Bestimmen Sie die Menge, die zu Beginn mindestens im Behälter sein muss.
b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Menge im Behälter maximal ist.
c) Beschreiben Sie, wie der Graph im Intervall [9; 12] verlaufen müsste, damit die
Menge im Behälter zu den Zeitpunkten t= 0min und t= 12 min gleich groß ist.
d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem insgesamt 11m3 abgeflossen sind.
e) Verändern Sie den Graphen so, dass die Menge im Behälter nach 8 min maximal ist.
a) Mindestens der orientierte Flächeninhalt im Intervall [0 : 5] da dieser negativ ist.
,
1 Kästchen =
1 m3
↳ & Kästchen :
A =
8 m3
b) Die Menge im Behärter ist bei t =
a min maximal .
c) Im Intervall [9 :
12] darf Mer Im wieder abfließen . Dabei könnte der Graph so verlaufen ,
das er ab t =
9 min
m3
stagniert und dann linear mit -2 sinkt
min
.
d) negativ orientierter Flächeninhalt :
TOi5 -ASUS S Nach t =
11 min sind insgesamt 11m3 abgeflossen
e) Dafür bei t
=
g min Null- und Wendestelle mit Vzw von +
nach-Isiehe oben,
S. 93/10
Geben Sie zwei verschiedene Intervalle an, sodass der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion
f und der x-Achse über jedem dieser Intervalle 8 FE beträgt.
a) f(x) = 2 b) f(x) = x c) f(x) = -x d) f(x) = x - 2
a) In =
[0 : 4] b) 11 =
[0 : 4] c) + (x) = -
x d) I
,
=
[2 :
6]
[2 [ 2 =
2) ↳ 4 4
I [ 4 ;
0] [2
.
=
[
=
8FE 7]
- -
= = -
1 :
2
Fa =
[ -
5 ; 3)
I2 =
( -
3 ; 5]
3
3
5
5
↳ -
.
+
.
=
8FE
Definition:
Eine Funktion f sei auf dem Intervall I = [a ; b] integrierbar. Das (bestimmte) Integral von f über [a ; b] ist der orientierte
Flächeninhalt, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen der unteren Grenze a und der oberen Grenze b einschließt.
Man schreibt: b
I f(x)dx
a
Summenschreibweise:
orientierter Flächeninhalt: n
1Y
+ (x)
I
→ Laufindex k von 0 bis n
:
k=0
• Wert positiv, wenn • Wert negativ, wenn 3
.oberhalb der x-Achse .unterhalb der x-Achse ! k2 = 0a + 12 + 24 ya + =
14
k=0
, Beispielaufgaben:
S. 97/9
Begründen Sie, dass die Gleichung gilt.
-2 2 4 4 3
jcos(x)dx = 0
a) 3
b) 11 2
x dx = x dx 2 c) 11
3x 2 dx = 2 * 3x 2 dx d) I (x - 2) dx = 0
0 -5 5 -4 0 1
a) Der Graph ist punktsymmetrisch zu 101) ,
weshalb die Integrationsgrenzen um den Punkt symmetrisch liegen .
↳ negativ orientierter Flächeninhalt =
positiv orientierter Flächeninhalt -
ergibt Integralwert .
0
b) Der Graph ist achsensymmetrisch ,
deshalb muss ein Intervall und dessen negatives Äquivalent denselben Integralwert haben .
DerGrapsachsensummetrisch zursdeshalb g unddamitaucdiegegebeneichunes
grenzen symmetrisch zu 1012) und der Integralwert beträgt 0
S. 97/10
Zwei Fahrzeuge bewegen sich auf einer Rennstrecke mit den Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 . Der Verlauf der
Geschwindigkeiten im Zeitraum [0; 20] ist durch die beiden Graphen gegeben.
a) Bestimmen Sie die Länge der Strecke, die die beiden Fahrzeuge jeweils nach 6s
m
.zurückgelegt haben.
b) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem beide Fahrzeuge gleich schnell sind.
c) Beide Fahrzeuge starten an der Startlinie. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem
. Fahrzeug 2 Fahrzeug 1 überholt.
d) Fahrzeug 1 startet 1 m hinter Fahrzeug 2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem es Fahrzeug 2 überholt.
a) I Kästchen = Im
Fahrzeug 1 : 6 .
2m
=
12 m
Fahrzeug 2 :
3 .
am =
Gm
b) nach t =
Os und nach ca .
12 55
,
6) in [0 : 18) sind die eingeschlossenen Flächen zwischen den Graphen etwa gleich groß .
↳ Nach 185 Überholt Fahrzeug 2 Fahrzeug 1.
d) Nach etwa 25 überholt Fahrzeug ! Fahrzeug z ,
da bei t =
as die eingeschlossene Fläche "2 Kästchen ( = (m) beträgt
Definition:
Stammfunktion:
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f im Intergral I, wenn gilt: F'(x) = f(x)
1
Für Potenzfunktionen gilt f(x) = x r gilt F(x) = r + 1 x r + 1
Hauptsatz der Differzial- und Integralrechnung:
Ist die Funktion f im Intervall [a ; b] differenzierbar und ist F eine Stammfunktion von f im Intervall [a ; b], so gilt:
b a
I f(x)dx = [.F(x).]b = F(b) - F(a) beachte!
a
p o Das Bilden einer Stammfunktion ist nicht eindeutig!
Stammfunktion in
eckiger Klammer „obere minus untere Grenze" F1 (x) = x 4 + 2 F2(x) = x4 - 7
T
.........
integrieren
allgemein gilt:
ableiten
f(x) = 4x 3
Sind F und G zwei verschiedene Stammfunktionen von f, so unterscheiden sie sich nur um eine Konstante c:
F(x) = G(x) + c
Die Integralfunktion: x
Gegeben sei eine Funktion f, die im Intervall I integrierbar ist. Für ein u e I heißt die Funktion I u mit I u.(x) = f(t)dt (x e I)
die Integralfunktion von f zur unteren Grenze u. Ist I u (x) eine Integralfunktion von von f, so gilt I u'(x) = f(x). u
Demnach ist I u eine Stammfunktion von f. Die Integralfunktion besitzt mindestens eine Nullstelle bei x = u, da I u.(u) = 0
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