Definition Grafische Interpretation Bedeutung
Differenzenquotient Ye mittlere Änderungsrate
f(a+h) - f(a) im Intervall
h fath)..... - -
- - - -
- sekante I = [a ; a+h]
ras--------i "
(h ≠ 0) f(x)
→ Steigung der
Sekanten >
X
a ain
Ableitung: Ye
momentane
f'(a) = lim f(a+h) - f(a) Tangente
Änderungsrate von f an
h→0 der Stelle a
h
f(a) --------
i
f(x)
→ Steigung der
Tangenten
T
Definition:
Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Wenn der Differenzenquotient an der Stelle a für h → 0 gegen einen
Grenzwert strebt, so ist f an der Stelle a differenzierbar.
Der Grenzwert heißt dann Ableitung f'(a). Man sagt, der Graph von f hat an der Stelle a die Steigung f'(a). Ist f an
jeder Stelle a e I differenzierbar, so ist f differenzierbar.
Wichtige Ableitungsregeln
Notation der Definitionsmengen
Regel f(x) f'(x) und Intervalle:
-
Potenzregel f(x) = x r f'(x) = rx r - 1 12
+
nur die
positiven
to
-
reeve
-
Faktorregel f(x) = c * g(x) f'(x) = c * g'(x) incusive
0 ist nicht
1
f(x) = i f'(x) = 21 x - 21 Null ist mehr im Intervall
-
Wurzel x =x 2
im Intervall
1 1
Bruch f(x) = x = x-1 f'(x) = -x -2 = - x2
Tangente und Winkel:
Die Tangente an einem Graphen im Punkt P(a/f(a)) lässt sich mittels y = f'(a) * x + c (c durch Punktprobe) bestimmen.
Der Winkel eines Graphen im Punkt P lässt sich mit tan( &.) = f'(a) bestimmen. Ist die Tangentensteigung in P negativ,
so hat der Steigungswinkel ein negatives Vorzeichen.
Steigungswinkel:
tan( &.) = f'(a)
Beruhrpunkte:
,
Zwei Graphen G f und G g zweier Funktionen f und g berühren sich im Punkt P(a/f(a)), wenn gilt:
1 f(a) = g(a)
2 f'(a) = g'(a)
, Definition:
Gegeben seien die Funktionen u und v. Die Funktionen u ° v mit (u ° v)(x) = u(v(x)) heißt Verkettung von u und v.
Dabei ist u die äußere und v die innere Funktion. Im Funktionsterm von u wird jedes x durch v(x) ersetzt.
Beispiel:
U(x) =
VE v(x) =
2x -1
f (x) =
nov =
u(V(x) =
u(2x 1) -
=
Vax-1 >
-
Dy =
10 , 5 : 00l
g(x) =
von =
v(u(x) =
v(v)
= 22k -
1 +
Di
=
IRj
→ Die Verkettung ist nicht kommutativ (Komm wir tauschen!) → u ° v ≠ v ° u
Sind u und v zwei differenzierbare Funktionen, so ist auch die Verkettung f = u ° v auf Df differenzierbar.
Für ihre Ableitung gilt:
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
→ „äußere mal innere Ableitung"
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