Zusammenfassung Mathematik - Abiturlernzettel 2025

LERNZETTEL
MATHEMATIK ABITUR
- 2023 -




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, INHALTSVERZEICHNIS
1. ANALYSIS ...............................................................................................................................................3
1.1 Funktionen .......................................................................................................................................3
1.2 Kurven untersuchen .........................................................................................................................5
1.3 Differenzieren/Ableiten ....................................................................................................................9
1.4 Integrieren .....................................................................................................................................10
1.5 Gleichungen lösen ..........................................................................................................................13


2. ANALYTISCHE GEOMETRIE ...................................................................................................................17
2.1 Gleichungen ...................................................................................................................................17
2.2 Abstandsberechnung .....................................................................................................................17
2.3 Winkelberechnung .........................................................................................................................18
2.4 Vektoren ........................................................................................................................................20
2.5 Punkte ............................................................................................................................................22
2.6 Geraden .........................................................................................................................................22
2.7 Ebenen ...........................................................................................................................................23
2.8 Kugel ..............................................................................................................................................26


3. STOCHASTIK HMF ................................................................................................................................28
3.1 Zufallsexperiment ..........................................................................................................................28
3.2 Wahrscheinlichkeiten berechnen und darstellen ...........................................................................28
3.3 Kombinatorik .................................................................................................................................29
3.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung .......................................................................................................29
3.5 Binomialverteilung .........................................................................................................................29
3.6 Normalverteilung ...........................................................................................................................29
3.7 Hypergeometrische Verteilung ......................................................................................................29




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,1. ANALYSIS
1.1 FUNKTIONEN
GANZRATIONALE FUNKTIONEN
• Eine Funktion f: x → f(x), deren Funktionsterm f(x) ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale
Funktion oder Polynomfunktion.
n n−1
• ganzrationale Funktion n-ten Grades hat Form → f ( x )=a n⋅x +a n−1⋅x +…+a 2⋅x 2 +a1⋅x +a 0
• Die Zahlen an, an−1, …, a2, a1, a0 nennt man Koeffizienten.
• Die Zahlen n, n−1, … bezeichnet man als Exponenten.
• Der größte vorkommende Exponent (hier: n) bestimmt den Grad der Polynomfunktion.
• Koeffizienten vor dem größten vorkommenden Exponenten nennt man Leitkoeffizienten (hier: an).
3 1
• Beispiel → f ( x )=− 2 x − x +4
2
1
◦ Die Koeffizienten sind a 3=− 2 ; a 1=− und a 0=4 .
2
◦ Die vorkommenden Exponenten sind n=3 und n−2=1
◦ f(x) hat den Grad 3 und den Leitkoeffizienten −2.


EXPONENTIALFUNKTIONEN
x
• Funktion mit dem Funktionsterm f ( x )=b⋅ a heißt Exponentialfunktion → a > 0, a ≠ 1 und b ≠ 0.
• Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm a x die Basis a eine fest gewählte positive reelle Zahl
(ungleich 1). Der Exponent enthält die Funktionsvariable x. Daher die Bezeichnung
"Exponentialfunktion". Der Faktor b ist eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.
b( x−c)
• Koeffizienten in f ( x )=a⋅e +d
◦ a – Streckung/Stauchung in y-Richtung (a > 1 → steiler; 0 < a < 1 → flacher; a < 0 → an der x-Achse
gespiegelt)
◦ b – ansteigendes oder fallendes Schaubild (b > 0 → ansteigendes; b < 0 fallendes Schaubild)
◦ c – Verschiebung in x-Richtung (c > 0 → nach rechts; c < 0 → nach links)
◦ d – Verschiebung in y-Richtung (d > 0 → nach oben; d < 0 → nach unten)
• natürliche Exponentialfunktion → e = 2,71
◦ an der Stelle 0 → Steigung 1; schmiegt sich an die x-Achse;
Ableitung/Stammfunktion → ex=ex
◦ e0 =1 ; e x =2 → ln(2)= x ; e3 x =5 → ln(5)=3 x
• natürliches exponentielles Wachstum
◦ Ein Geldbetrag von 500 Euro wird bei einer Bank zu einem Zinssatz von 5% angelegt.
t 5
5 t
ln(1+
100
)⋅t
0,0488⋅t
◦ f (t )=500⋅(1+ ) =500⋅1,05 → f (t )=500⋅e =500⋅e (k >0)
100
ln (2) ln (2)
◦ Verdopplungszeit: t v = = =14,4 ( Jahre)
k 0,0488
• natürlicher exponentieller Zerfall
◦ Von dem radioaktivem Jod 131 sind zu Beginn 7mg vorhanden. Täglich zerfallen 8% der Menge.
8
ln(1− )⋅t k⋅t
◦ f (t )=7⋅e =7⋅e−0,0834⋅t (k<0) → allgemeiner Funktionsterm f (t )=a⋅e
100


ln (0,5) ln(0,5)
◦ Halbwertszeit: t v = = =8,31 (Tage)
k −0,0834


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, • Potenzgesetze
−k 1
◦ a = (a≠0)
ak
m m m
◦ (a⋅b) =a ⋅b
◦ a m+a =am+a n
m
a
◦ a m−n = n
a
m⋅a m n
◦ a =(a )
m m
◦ ()a
b
= m
a
b


IN-FUNKTIONEN
• Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a), wenn sie allgemein die Form f ( x )=log a ( x ) ,
x ∈ (0 , ∞) aufweist, wobei a eine beliebige positive Konstante bezeichnet.
• In den speziellen Fällen a=e, a=10 und a=2 spricht man von
◦ f(x)=ln(x), als „natürlichen Logarithmus“,
◦ f(x)=lg(x), als „dekadischen Logarithmus“ bzw.
◦ f(x)=ld(x), als „dyadischen Logarithmus“.
• In der Regel rechnet man mit dem natürlichen Logarithmus.
Falls aber mal der Fall auftreten sollte – und das könnte er –
dass kein natürlicher Logarithmus vorliegt, kann dieser mit einfachen Mitteln wie folgt umgeschrieben
ln( x )
werden → loga ( x)=
ln (a)
ln(x )
• nützlicher Zusammenhang (Lösen von Gleichungen) → e =x bzw. ln(e x )= x
• Logarithmusgesetze
◦ loga (b 1⋅b2 )=loga b1 +loga b2 → ln(b 1⋅b 2 )=ln(b1 )+ln(b 2 )
b1
◦ loga
b2 ( ) a
=loga b1 −loga b2 → ln( )=ln(a)− ln(b)
b
◦ loga br =r⋅loga b → ln(a b )=b ⋅ln(a)
1
◦ loga √n b= ⋅loga b
n


WURZELFUNKTIONEN
• f ( x )= √ x
• Definitionsmenge: D={X ∈ℝ ∣ x≥0}
◦ Es dürfen nur positive x-Werte bzw. x = 0 eingesetzt werden.
• Wertemenge: Man erhält nur positive y-Werte bzw. y = 0.
• f ( x )= √ x ist die Umkehrfunktion zur Normalparabel g( x )= x 2 (für x
≥ 0).
• Lösen:
◦ Wurzel isolieren (allein auf eine Seite bringe)
◦ beide Seiten quadrieren (Binomische Formeln)
◦ Umformen und mit pq- bzw. abc-Formel lösen
◦ Lösungen prüfen! Durch das Quadrieren können Lösungen dazu kommen.


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, • Wurzelgesetze
◦ √n a⋅√n b=√n ab
n m
◦ √ m√ a= √ √n a=nm√ a

√
n
√a n a
◦ n = ( für b≠0)
√b b
◦ ( √ m) =√ a m
n m n




TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
• sin startet „unten“; cos startet „oben“ → periodische Vorgänge (z. B. Ebbe und Flut)
• Koeffizienten: f ( x )=a⋅sin(b⋅( x −c))+d und f ( x )=a⋅cos(b⋅( x −c))+d
◦ a – Amplitude: a < 0 → an der x-Achse gespiegelt (Betrag von a gibt Abstand zur „Mittellinie“ an)
◦ b – entscheidet Periodenlänge (Dauer eines „Durchlaufs“):
2π
b= → p = Periodendauer
p
◦ c – Verschiebung in x-Richtung: c > 0 → nach links; c < 0 →
nach rechts
◦ d – Verschiebung in y-Richtung („Höhe der Mittellinie“): d >
0 → nach oben; d < 0 → nach unten


GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN
z(x) → z ( x )=0 für Nullstellen
• f ( x )=
n( x ) → n( x )=0 für Definitionslücke
• Definitionslücke/Polstelle → senkrechte Asymptote (an einen Punkt schmiegend)
• sollte Nullstelle von Nenner gleich sein mit Zähler von oben → behebbare Lücke/Defenitionslücke


1.2 KURVEN UNTERSUCHEN
NULLSTELLEN
• Eine Nullstelle einer Funktion f ist der x-Wert eines Schnittpunktes vom Graphen von f mit der x-Achse.
• Unterscheidung von Nullstellen bei Polynomen → Vielfachheiten (gibt an, wie oft eine bestimmte
Nullstelle bei einer Funktion vorkommt; wird durch Exponenten in Linearfaktorzerlegung bestimmt)
• Das sind also gerade die x -Werte, an denen f(x)=0 ist.
2
• Funktion f mit f ( x )= x − 4 hat die Nullstellen x = +2 und x =
−2. Die Linearfaktorzerlegung lautet also
1 1
f ( x )=( x − 2) ⋅( x +2) . Bei beiden Nullstellen → Exponent
des Linearfaktors = 1; Nullstellen kommen also jeweils genau
einmal vor → einfache Nullstellen/ Vielflachheit 1
• Es gibt auch Funktionen mit mehrfach Nullstellen.
• Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um
Schnittpunkte mit der x-Achse. Bei Nullstellen mit
gerader Vielfachheit handelt es sich um
Berührpunkte mit der x-Achse.
• An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein
Vorzeichenwechsel auf. Ist die Vielfachheit größer als
1, liegt dort ein Terassen- und ein Wendepunkt vor.



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