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Zusammenfassung Mathe, Rotationskörper und ihr Volumen

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Kurs
Mathematik

Hochschule
Gymnasium

Eine prägnante und übersichtliche Zusammenfassung des Kapitels zu Rotationskörpern und ihrem Volumen aus dem "Lambacher Schweizer Mathematik Kursstufe". In kurzen Absätzen wird die Definition erläutert, das Bestimmen des Volumens erklärt und veranschaulicht, wo sich Rotationskörper im Alltag...

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Gesamtes Buch? Nein
Welche Kapitel sind zusammengefasst? Rotationskörper
Hochgeladen auf 18. februar 2021
Anzahl der Seiten 2
geschrieben in 2020/2021
Typ Zusammenfassung

rotationskörper
volumen
volumenberechnung
rotationsachse
funktion
achse
drehen
intervall
zylinder
integral
rotationskörper und ihr volumen
volumen zwischen zwei funktionen
rotationskörper im alltag
pa

Hochschule Mittelschule
Studium Gymnasium
Kurs Mathematik
Schuljahr 1

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Mathematik Rotationskörper und ihr Volumen

Definition:
Rotationskörper entstehen, wenn sich die Fläche zwischen einer Funktion f und der x-Achse
in einem bestimmten Intervall (a; b) um die Achse (Rotationsachse) dreht und dabei einen
Körper bildet.

Bestimmung des Volumens:
1. Annähern des Körpers durch Zylinder der Höhe h
2. h  0 (unendlich viele und dünne Zylinder, d.h. die Breite des Zylinders h geht gegen 0)
Hier gilt: Je schmaler die Zylinder sind, desto genauer ist das Volumen.
3. Ergebnis: Summe von unendlich vielen und dünnen Zylindern
b
2
4. Berechnung des Volumens mithilfe des Integrals: V =π ∫ ( f ( x )) dx
a

Falls das Volumen zwischen zwei Funktionen f und g gefragt ist, rechnet man mit folgendem
b
2 2
Integral: V =π ∫ (f ( x )) −(g ( x )) dx
a

Rotationskörper im Alltag:
 Erste Berechnungen bereits in der Antike
 300: griechischer Mathematiker Pappos von Alexandria  Buch „Mathematicae
Collectiones“ (über das Rechnen mit Rotationskörpern)
 1600: Schweizer Mathematiker und Astronom Paul Guldin  vierbändiges Werk
„Centrobaryea“ (Guldinsche Regeln zum Berechnen von Volumen und Oberfläche
von Rotationskörpern)
 heutzutage: Konstruieren von Alltagsgegenständen (Glas, Vase, Swimming Pool, etc.)

Merke:
 Die Funktion f sei auf dem Intervall (a; b) integrierbar. Rotiert die Fläche unter dem
Graphen von f über dem Intervall (a; b) um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper.
Sein Volumen kann mit folgendem Integral berechnet werden:
b
2
V = π ∫ ( f ( x ) ) dx
a
 Wird eine Differenz zwischen den Funktionen f(x) und g(x) berechnet, so braucht man
folgendes Integral:
b
V =|π ∫ (f ( x ))2−( g ( x ))2 dx|
a

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