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Calcul Matriciel - Chapitre 4 - L2S4
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JulienB
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Calcul Matriciel - Chapitre 4 - L2S4par:
JulienB
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- Chapitre 4 -
Valeurs propres et vecteurs propres -
Diagonalisation
Table des matières
1 Valeurs propres et vecteurs propres 2
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La diagonalisation d’une matrice 5
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Exemples 6
3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 avec valeurs propres multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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1 Valeurs propres et vecteurs propres
1.1 Définition
Définition 1 Soit une matrice A ∈ Mn (R) et λ ∈ R.
- λ est une valeur propre de A si ∃X ∈ Rn , X 6= 0n tel que AX = λX.
- un tel vecteur X est alors appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
Remarque 1
- Le système linéaire AX = λX est résoluble car il admet toujours au moins une solution : X = 0n .
- Pour savoir si λ est une valeur propre de A, il faut savoir si le système linéaire AX = λX. (c’est à
dire (A − λIn )X = 0) admet une solution autre que X = 0n .
Posons P (λ) = det(A − λIn ). P est un polynôme de degré n en λ.
Il est appelé polynôme caractéristique de A.
Deux cas se présenteront :
1er cas : Si P (λ) = det(A − λIn ) 6= 0,
la matrice A − λIn est inversible et donc, d’après ce que nous avons vu dans les chapitres précédents,
le système linéaire aura une solution unique (qui sera X = 0). Ce cas ne nous intéressera donc pas car
alors λ n’est pas valeur propre de A.
2ème cas : Si P (λ) = det(A − λIn ) = 0,
Le système n’est pas de Cramer. Sachant qu’il admet déjà une solution, il en admet donc une infinité.
Dans ce cas, λ est valeur propre de A.
D’où la proposition suivante :
Proposition 1 λ est valeur propre de A si et seulement si P (λ) = 0.
Remarque 2
- Si A ∈ Mn (R), A admet au plus n valeurs propres (distinctes ou non).
- λ est dite valeur propre d’ordre q si c’est une racine de P de multiplicité q.
- A est inversible si et seulement 0 n’est pas valeur propre de A.
0 −1
Exemple 1 Considérons la matrice : A = .
3 4
Le polynôme caractéristique de la matrice A sera :
−λ −1
= (−λ) (4 − λ) + 3 = λ2 − 4λ + 3
3 4−λ
L’équation λ2 − 4λ + 3 = 0 possède deux racines réelles qui sont : λ1 = 1 et λ2 = 3.
Recherchons maintenant les vecteurs porpres associés.
Pour la valeur propre λ1 = 1 :
−x2 = x1 x1
Il faut donc résoudre le système : AX = X ⇔ en posant : X = .
3x1 + 4x2 = x2 x2
x1 = −x2
Cela donne
x2 est quelconque
−x2
Donc tout vecteur de la forme : X = sera vecteur propre. (avec x2 6= 0)
x2
Pour la valeur propre λ2 = 3 :
−x2 = 3x1 x1
Il faut donc résoudre le système : AX = 3X ⇔ en posant : X = .
3x1 + 4x2 = 3x2 x2
2
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