Dit is een compacte, duidelijke samenvatting van het vak I-chemische procesregeling in het masterjaar. Hierin word alle te kennen theorie duidelijk uitgelegd in de woorden van de prof, en alle niet te kennen wiskundige vergelijkingen uit de cursus zijn eruit gelaten.
Samenvatting chemische
procesregeling
5. wiskundige hulpmiddelen en definities
Indelingen van systemen
1) Met slechts 1 uitgang : monovariabel systeem
a. SISO : single input- single output
b. MISO : multiple input- single output
2) Met meerdere uitgangen : multivariabel systeem = MIMO : multiple input- multiple output
Lineariseren
Je kan enkel laplacetransformaties nemen van lineaire differentiaalvergelijkingen:
Een lineaire vergelijking :
Indien de differentiaalvergelijking niet lineair is moet je hem lineariseren
( dxdf )
Dit gebeurt met de volgende formule : f l ( x )=f ( x 0 ) +
x=x 0
.( x−x 0)
Met :
- f(x) = de originele functie
- fL(x) = de gelineariseerde functie
- x0 = werkpunt waarrond wordt gelinealiseerd (de ingestelde waarde)
- f(x0) = de originele functie met x vervangen door x 0
Voor een lineair systeem geldt:
Met :
- pi en qi = constanten
- y(t) = uitgangsveranderlijke
- x(t) = ingangsveranderlijke
- n = de orde van de differentiaalvergelijking
, 2
afwijkingsveranderlijken
De differentiaalberekeningen van lineaire systemen kunnen makkelijker gemaakt worden door het
gebruik van afwijkingsveranderlijken: zA(t) = z(t) - zs
- met zA(t) = de afwijking
- z(t) = de veranderlijke (gemeten)
- zs = de ingestelde waarde (statische toestand)
Dus het invoeren van afwijkingsveranderlijken bij lineaire systemen die zich voor t<0 in de statische
toestand bevinden, biedt volgende voordelen:
- de natuur van de differentiaalvergelijking wordt niet gewijzigd. Eventuele constante termen,
die slechts een invloed hebben op de statische toestand vallen weg
- de beginvoorwaarde van afwijkingsveranderlijken is altijd nul
- laplacetransformaties van de afgeleiden van afwijkingsveranderlijken is heel eenvoudig
- In procesregeling ben je enkel geïnteresseerd in de afwijking
Ingang-uitgangmodellering
De transferfunctie H(s) = een vergelijking in het laplace domein die het verband geeft tussen de
ingang XA(s) en de uitgang YA(s)
A
Y (s)
H ( s )= A
X ( s)
- A : de afwijkingsveranderlijke
- (s) : lapacedomein
Met gekende transferfunctie en gekende storing X A(s) kunnen we de uitgang voorspellen.
- XA(s) = B/s
o Met B de stapfunctie storing (bv koelwater wordt ineens 10 graden warmer B=10)
Probleem kan wiskundig zo makkelijk ontleden worden
De statische versterking K
= is de verhouding van de uiteindelijke verandering (t=ꚙ) van de uitgangsveranderlijke en de
ingangsveranderlijke van een proces na een stapfunctie aan de ingang.
- Is een eigenschap van het proces
- Zelfs zonder een sturing
Δy
K=
[ ]
Δx t =inf
=¿ ¿
Voor een bepaalde stapfunctie:
- Als K groot is zal de verandering aan de uitgang groot zijn = het proces is zeer gevoelig voor
storingen
, 3
- Als K klein is zal de verandering aan de uitgang klein zijn = het proces is weinig gevoelig voor
storingen
Voorbeeld 1 : een buffervat met constante warmteproductie
1) We vertrekken van een energiebalans
J
¿+GEPRODUCEERD=UIT + ACCUMULATIE
[ s
=W
]
- Constante warmteproductie dus Φ G , s=cte∈de tijd
- Geen steady state systeem dus accumulatie is niet 0 (d…/dt)
kg J kg J d 1 J
ṁ
[ ]
s [ ]
.T i [ ° C ] .C p
kg . s
+ ΦG , s= ṁ
[ ]
s
.T [°C ].C p +
[ ] []
kg . s dt s
. T [ ° C ] m CSTR [ kg ] .C p
[ ]
kg . s
- CSTR reactor : T in reactor = T uitgaande stroom = T
Kan ook massabalans [kg/s of mol/s]
2) Dan kijken of deze functie lineair is ja
x. cte + cte = y.cte + y’.cte
3) Opstellen van de normaal vergelijking :
d
a. ṁ .T i (t).C p +Φ G , s=ṁ .T (t) .C p + .T ( t ) . mCSTR . C p
dt
b. ṁ .C p wegwerken
mCSTR d .T (t) Φ
c. . +T ( t )=T i ( t ) + G , s
ṁ dt ṁ. C p
d. We definiëren de volgende variabelen:
mCSTR
i. =τ=de gemiddelde verblijfstijd ∈de reactor [ s ]
ṁ
ii. De factor voor T i ( t )( in dit geval 1) = K, de statische versterking
d . T (t ) ΦG ,s
e. τ . +T ( t )=K .T i (t ) +
dt ṁ . C p
4) Invoeren van afwijkingsveranderlijken : TA(t)= T(t) – Ts TAi(t)= Ti(t) – Ti,s
A
d (T ( t ) +T s ) A Φ
a. τ . +T ( t ) +T s =K . (T A i ( t ) +T i , s )+ G , s
dt ṁ .C p
, 4
dTs
b. Afgeleide van een constante is 0 : =0
dt
d T A (t ) A A ΦG , s
c. τ . +T ( t ) +T s =K . (T i ( t ) +T i , s )+
dt ṁ .C p
5) Als we deze vergelijking (3.e) schrijven in de statische toestand:
dTs Φ
a. τ . + T s=K .T i , s+ G , s
dt ṁ .C p
dTs
b. Afgeleide van een constant getal is 0 :τ . =0
dt
ΦG ,s
c. T s=K . T i , s +
ṁ. C p
6) 4.c en 5.c combineren dan krijgen we:
d T A (t ) A A
a. τ . +T ( t ) =K .T i ( t )
dt
7) Laplace nemen
A A A
a. τ . d T ( s ) . s +T ( s )=K .T i ( s )
8) transferfunctie in het Laplacedomein opstellen :
A
T (s)
a. H ( s )=
T Ai( s )
K
b. H ( s )=
τ . s +1
i. Met K = 1
1
c. H ( s )=
τ . s +1
9) We willen nu de temperatuur aan de uitgang weten in het tijdsdomein : inverse Laplace van
YA(s) = H(s) . XA(s)
ΔT i
a. XA(s)=T Ai ( s )=
s
i. Met ΔTi = de stapfunctie aan de ingang
1 ΔTi
10) YA(s) ¿ T A ( s )= H(s) . XA(s) = .
τ . s+ 1 s
A A B
a. Splitsen in partieelbreuken : T ( s )= +
s τ . s+1
i. A = ΔTi
ii. B = -τ. ΔTi
ΔTi τ. ΔTi
b. T A ( s )= −
s τ . s+1
11) Via de laplacetransformaties :
−t
1
a. T A ( t ) =ΔT i−τ . Δ T i . .e τ
τ
−t
b. T A ( t ) =ΔT −Δ T .e τ
i i
−t
c. T A ( t ) =ΔT (1−e τ )
i
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller woutdewachter. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $11.26. You're not tied to anything after your purchase.
