Summary
Samenvatting Lineaire Algebra (deel 1)
- Course
- Institution
Dit is een samenvatting van Lineaire Algebra (deel 1), zoals gegeven op de Universiteit Utrecht. Het tweede deel van de samenvatting is ook op mijn account te vinden.
[Show more]
1 review
By: appiesourani • 10 months ago
Seller
Follow
brenda00
Reviews received
Content preview
LINEAIRE ALGEBRA DEEL 1VECTOREN
Een vector ~a is een translatie (verschuiving) in de ruimte en gaat van een punt A naar een punt B.
Een vector wordt getekend als pijl −→. De verplaatsingsafstand van een vector wordt de lengte
van de vector genoemd. De lengte van een vector ~a heeft de notatie: |~a|.
De vector met lengte 0 is de nulvector: ~0.
De somvector a + ~ b krijg je door de verschuivingen bij elkaar op te tellen.
De verschilvector a −~ b krijg je door de verschuivingen van elkaar af te trekken.
Een scalaire vermenigvuldiging van een vector wordt genoteerd als λ~a met λ ∈ R.
Een vast punt O in de ruimte noemen we de oorsprong.
Voor elk drietal vectoren ~a, ~b, ~c en elk tweetal getallen λ, µ ∈ R geldt:
1. a + b = b + a
2. a + (b + c) = (a + b) + c
3. λ(a + b) = λa + λb
4. (λ + µ)a = λa + µa
5. λ(µa) = (λµ)a
De punten van de lijn l worden gegeven door de verzameling l = {~ p + λ~a : λ ∈ R}.
Het gedeelte p~ + λ~a heet een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de lijn l.
De vector p~ heet de steunvector van de lijn en ~a 6= ~0 is de richtingsvector van de lijn.
Een tweetal vectoren ~a, ~b heet onafhankelijk als de één geen scalair veelvoud is van de ander.
Dus ~a, ~b zijn onafhankelijk als ze beide niet ~0 zijn en als ze in verschillende en niet-tegengestelde
richtingen wijzen.
n o
V wordt gegeven door de vectoren p~ + λ~a + µ~b : λ, µ ∈ R en dit heet een parametervoorstelling
van een vlak V. Hierin is p~ wederom de steunvector en zijn ~a, ~b de richtingsvectoren.
We kunnen elke vector ~a schrijven in de vorm λe~1 + µe~2 + ν e~3 voor goed gekozen λ, µ, ν. Daarbij
zijn λ, µ, ν de coördinaten of kentallen van de vector ~a ten opzichte van de basis e~1 , e~2 , e~3 .
(λ stappen naar voren, µ stappen naar rechts, ν stappen naar boven.)
x1
Kolomvector notatie: x2
x3
Rijvector notatie: (x1 , x2 , x3 )t waarin t (transpositie) betekent dat we van een rij een kolom maken.
1
, We noemen een tweetal niet-evenwijdige lijnen dat elkaar niet snijdt, kruisend.
Behalve parametervoorstellingen van een vlak kan een vlak ook gekarakteriseerd worden door een
vergelijking van een vlak. Bijvoorbeeld, beschouw het vlak bestaande uit de punten met
coördinaten x1 , x2 , x3 die gegeven wordt door de parametervoorstelling
x1 1 1 −2
x2 = 3 + λ −1 + µ 0
x3 1 −1 −1
Uitgeschreven geeft dit,
x1 = 1 + λ − 2µ
x2 = 3 − λ
x3 = 1 − λ − µ
En dit zorgt voor de vergelijking x1 + 3x2 − 2x3 = 8 waaruit λ, µ verdreven zijn.
Parametervoorstellingen van lijnen en vlakken zijn niet uniek vastgelegd.
INWENDIGE PRODUCTEN
Het inwendig product van ~a en ~b is het getal |~a||~b| cos φ en heeft als notatie: ~a · ~b. De hoek
ligt tussen 0 en π radialen in.
Als ~a en ~b loodrecht op elkaar staan (φ = π/2), dan geldt ~a · ~b = 0. Als ~a of ~b de nulvector is,
dan is het begrip ”hoek” tussen ~a en ~b niet goed gedefinieerd. In dat geval spreken we af dat ~a ·~b = 0.
De lengte van x met kentallen x1 , x2 , x3 wordt, via de Stelling van Pythagoras, gegeven door
|~x|2 = x21 + x22 + x23
q √
En dus korter geschreven als |~x| = x21 + x22 + x23 = ~x · ~x
Voor elk tweetal vectoren ~x, ~y met kentallen (x1 , x2 , x3 ) en (y1 , y2 , y3 ) geldt
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
Twee vectoren ~x, ~y zijn onderling orthogonaal als ~x · ~y = 0.
Bij elk vlak hoort een zogenaamde normaalvector welke loodrecht op het vlak staat. Deze is op
scalaire factor na vastgelegd. Kies een normaalvector ~n van V en stel p~ ∈ V: Elk punt x ∈ V heeft
de eigenschap dat ~n · (~x − p~) = 0 Ofwel, ~n · ~x = ~n · p~, in coördinaten:
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = n1 p1 + n2 p2 + n3 p3
De normaalvector kan ook gebruikt worden om een vergelijking van het vlak op te stellen. Als we
weer het voorbeeld pakken van hierboven, krijgen we:
1 −2
~n · −1 = ~n · 0 = 0
−1 −1
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller brenda00. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.91. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
52510 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now