Summary
Samenvatting Lineaire Algebra (deel 2)
- Course
- Institution
Dit is een samenvatting van Lineaire Algebra (deel 2), zoals gegeven op de Universiteit Utrecht. Het eerste deel van de samenvatting is ook op mijn account te vinden.
[Show more]
1 review
By: ArbitrarilyArbitrary • 1 year ago
Seller
Follow
brenda00
Reviews received
Content preview
LINEAIRE ALGEBRA DEEL 2LINEAIRE AFBEELDING
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen:
1. Voor elke ~x, ~y ∈ V geldt A(~x + ~y ) = A(~x) + A(~y ).
2. Voor elke λ ∈ R, ~x ∈ V geldt A(λ~x) = λA(~x).
Matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij M een m × n-
matrix met reële coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan ~x ∈ Rn de vector M~x ∈ Rm toekent,
is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers
dat M (~x + ~y ) = M~x + M ~y en M (λ~x) = λM~x.
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeeld-
ing. Dan geldt:
1. Voor elk tweetal ~x, ~y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λ~x + µ~y ) = λA(~x) + µA(~y ).
2. A(~0) = ~0
Zij f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle ~x ∈ V met
f (~x) = ~0. Notatie: ker(f ). De kern van een lineaire afbeelding is een lineaire deelruimte van
V . De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden. Zij V, W een tweetalnvec-
o
torruimten en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = ~0 .
Injectief: Als f (a) = f (b), dan a = b.
Surjectief: Als voor elke b ∈ B een element a ∈ A bestaat waarvoor f (a) = b met f : A → B.
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V →
W bestaat. Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W . Dan
is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire afbeelding.
Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Een eindigdimensionale vectorruimte over R is altijd isomorfnmet Rn .oDit gaat als volgt:
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis. Elke
~x ∈ V kan op unieke manier geschreven worden als ~x = x1~b1 + x2~b2 + ... + xn~bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , ..., xn de coördinaten van ~x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze
coördinaten noemen we de coördinatenkolom van ~x ten opzichte van B. We geven deze aan met
~xB . De toekenning ~x 7→ ~xB geeft een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn .
1
, LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire af-
beelding. n We nemen o aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m.
Zij B = ~b1 , ..., ~bn een geordende basis van V en C = {~c1 , ..., ~cm } een geordende basis van W .
We geven de coördinatenkolom van ~x ∈ V ten opzichte van B aan met ~xB . En evenzo is yC de
coördinatenkolom van y ∈ W ten opzichte van C.
Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W . Stel ~x ∈ V , y ∈ W zó dat ~y = A(~x). Zij
AB ~
C de m × n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte
B
van C te nemen. Dan geldt: ~yC = AC ~xB .
VOORBEELD
Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3 en beschouw de lineaire afbeelding D :
R[X]3 → R[X]3 gegeven door D : p(X) → p0 (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen
we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = 1, X, X 2 , X 3 . De
afbeelding D losgelaten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 . Schrijven we deze
vectoren uit ten opzichte van C(= B), dan vinden we de coördinaten kolommen
0 1 0 0
0 0 2 0
, , ,
0 0 0 3
0 0 0 0
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus
0 1 0 0
B
0 0 2 0
DB =0 0
0 3
0 0 0 0
Een speciaal geval is dat W = V en A de identieke afbeelding I : V → V gegeven door I : ~x → ~x.
Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × n-matrix die we krijgen door als i-de
kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector ~bi te nemen. Dan geldt
~xC = ICB ~xB
Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C-coördinaten van ~x. We
noemen dit een coördinatentransformatie. Met de notaties als boven geldt dat ICB = IB C −1 .
Zij V, W en A : V → W . In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases
B 0 , C 0 van V respectievelijk W . Het verband tussen AB B0
C en AC 0 kan bepaald worden door de
coördinatentransformatieformules. Er geldt
0 0
AB C B B
C 0 = I C 0 AC I B
Twee n × n-matrices A, B heten geconjugeerd als er een inverteerbare n × n-matrix bestaat zó
dat B = S −1 AS.
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller brenda00. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.96. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
80562 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now