Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) - Skript/Mitschrift
22 views 0 purchase
Course
Analysis 2 (MA9203)
Institution
Technische Universität München
Book
Analysis 1
Umfangreiche Vorlesungsmitschrift zu Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) mit nützlichen Hinweisen und ausführlichen Beschreibungen. Das Skript enthält alle relevanten mathematischen Definitionen, Sätze und Beweise zu den Themen:
1. Metrische Räume
2. Normierte Vektorräume und lineare Ab...
DEFINITION Eine d M M [0 )
Funktion o
heißt Metrik auf der
Menge M,
: →
x ,
Wr alle
/ wenn z EM
gilt :
x.
y ,
i) dlx y ) 0 < ⇐ Definit heit
y
=
,
Jeder Unterraum
eines metrischen Raums ii ) d ( X
y ,
) =
dly ,
x )
Syreetrie
ist metrischer Raum !
(×
ein
iii) d z ) dlx y ) dly )
,
<
,
+
,
z Dreiecks
Ungleichung
Das Paar ( M d) , heißt metrischer Raum .
BEMERKUNG .
Im Allgemeinen gibt es
Teilmengen ,
die weder offen noch
abgeschlossen sind ( Ca ,
b) )
( a b) keine
•
,
ist
Umgebung von a .
ES stets i) M und 0 sind offen
gilt
• :
ii ) ist offen
Durchschnitt zweier offener
Mengen .
iii ) Vereinigungen bel .
vieler offener
Mengen sind offen
Menge )
"
)
•
Eine von
Teilmengen von M ,
die i -
iii erfüllen , heißt Topologie
„
•
Der Durchschnitt b- vieler offener
Mengen ist nicht
notwendigerweise wieder offen ,
C- Er E)
z.B .
¥ ,
=
To }
DEFINITION Sei 1M d) ,
ein metrischer Raus und UEM .
| .
OK : =
Exe MIKE > 0 :
Bett ) n U #
On Bee CH n ( Mdk) * 0 }
Die leere Menge heißt Rand von
U .
{ f- 0 ist offen ! .int/UI:--fxeUIU ist
Umgebung von × }
U ( auch W )
heißt das Innere von
geschrieben
•
BECX ) : =
fy E M I d ( x. y
) <
E } heißt E-
Umgebung
heißt JE > Bek ) EU
U EM
Umgebung von XEM 0 :
•
,
wenn
LEMMA sei ( M d) metrischer Raum und UEM
ein Dann
gilt
:
,
.
}
i) UIOU ist offen und
relativ voneinander !
unabhängig
iil du da ist
abgeschlossen
BEWEIS i ) Jedes XEUI DU offene VEU besitzen Andernfalls
Umgebung
:
muss eine .
Rand punkt dann enthielte des
wäre x von U .
Wäre
yevn du ,
V als
Umgebung
Rand punktes y auch Punkte Min VEU Also ist xev Und U
was
widerspräche
←
von , .
ii ) Uc ( Wto Chi ) ) !
'
sei Mich das
Komplement U in M
Wegen i ) ist U ) d CK ) offen also
: =
von
,
.
U Olli ) Uudcu )
abgeschlossen
= =
u .
DEFINITION
[ Missachtung
Sei CM ,
d) ein metrischer Raum und UEM .
sein
•
xe M heißt Häufung punkt ,
wenn jede Umgebung von × mindestens einen von × verschiedenen
Punkt aus U enthält .
Wir schreiben acc ( U) : = Exe M I X ist
Häufung punkt von U }
•
× EU heißt isolierter Punkt von UEM ,
wenn xtacc CU)
Rand sind !
punkte immer
Häufung punkte
[ EMMA CM d) und
sei ,
ein metrischer Raum AEM
abgeschlossen ,
!
dann gilt acc CAIEA
'
BEWEIS A- tx # A Vs A
Da offen ist
gibt es
Umgebung V dass
:
, eine ,
so =
Damit ist × # acc CA )
,SATZ sei CM .
d) ein metrischer Raum und UEM ,
dann ist Ü der Abschluss von U .
Ü : =
TXE M I J ( x
„
EU )
ne
:
Xn -
>
X } (
Menge von Grenzwerten /
Berührungspunkten )
:-. U u du LU Mit Rand )
'
-
=
1 { A- c- MIA abgeschlossen n A- ZU } ( kleinste abgeschlossene
Menge ZU )
( k)
: = U u acc (U mit
Häufung > punkten)
BEWEIS : i ) Da du ÖU
abgeschlossen ist und UE Und U ,
gilt
sicher UUOU z 1 EHEM IA abgeschl .
n
A- ZU }
ii ) dann VNEN G) 0
Ist XE U voll ,
gilt :
B *
n U # .
D. h .
es
gibt
) U U
Folge B ( die
gegen konvergiert also
eine xn E x n in ×
× . , ,
{ XEM I I ( xn EU ) n e .
:
xn → × } ? U u SU .
iii ) Ist x ein Berühr punkt von U ,
dann ist entweder XEU ,
oder xt acc Ch) ,
d. h . U u acc LU ) z Ex EM 17 Cxn C- UI ne
:
Xn → × }
iv ) Da V : =
A THEM I A abgesahnt .
n A- ZU } abgeschlossen ist und damit acclv ) EV gilt mit UEV :
✓ =
Vu acclv ) ZU acc
( m)
u
o
DEFINITION Ist Ü = M , dann heißt U dicht in M
BEISPIEL .
ist dicht in R
°
ln ( C ( [ a. BI ) ,
Hello ) liegt die Menge der Polynome dicht ,
d. h .
fur jedes f E C ( [a. b ] ) existiert eine
Folge von Polynomen ,
die auf [ a. b ]
gleichmäßig gegen f konvergiert ( Bolzano -
Weierstraß )
For ( ) da ( Kab ) ) unbeschränkte Funktionen beinhaltet
C ( b)
gilt dies nicht
•
a.
, ,
wogegen Polynome auf endlichen Intervallen stets beschränkt sind . . .
BEMERKUNG :
Int CU) EU ± Ü = ( Int Cat u GU ) ,
sowie du = ÜI Int ( n )
DEFINITION Eine
Teilmenge K eines Metrischen Raumes heißt folgen kompakt ,
wenn jede Folge × : IN →
K eine in F
konvergente Teil folge besitzt .
"
Folgen Kompaktheit
BEMERKUNG Räume
äquivalent
"
: Da for metrische
zur
topologischen Definition
"
der
Kompaktheit ist ,
folgen kompakt
"
werden wir im Rahmen metrischer Räume
meist lax "
kompakt
"
nennen .
KOROLLAR K M
Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raums ist
abgeschlossen .
Sei IN
Wegen Kompaktheit
BEWEIS K M mit Grenzwert y
X
konvergente Folge
:
>
eine in
: -
.
K
existiert eine Teil folge ,
die in
konvergiert .
Da der Grenzwert derselbe sein muss ,
gilt yek
und somit E- E •
ERINNERUNG
"
"
beschränkt ttx y EU dlx ) EC
:
U heißt ,
wenn es ein < ER gibt ,
so dass ,
:
, y
) ER
"
( IK ¢} UEIK
"
SATZ In II. II mit IK für
gilt
: E :
, ,
U und beschränkt
U ist
folgen kompakt ⇐> ist
abgeschlossen .
( Heine -
Borel)
, "
"
BEWEISSRIZZE Abgeschlossenheit folgt Korollar
>
U nicht
=
aus Wäre
:
vorigem
:
.
beschränkt dann gäbe EU llxnll
Folge
>
,
es eine xn mit n ,
was
"
"
keine
konvergente Teiltolge zuließe .
"
K
wegen Beschränktheit
⇐
K
sei × IN existiert eine in
konvergente
: : →
.
Teilfolge
( Bolzano -
Weierstraß ) .
Da U
abgeschlossen ist
,
ist der Grenzwert
in U enthalten
" "
BEMERKUNG :
Für
jeden Metrischen Raum
gilt
:
kompakt = >
abgeschlossen +
beschränkt
LEMMA Ist M ein
kompakter metrischer Raum und AEM
abgeschlossen ,
dann ist auch A kompakt .
BEWEIS :
Sei × : IN →
AEM eine
Folge .
Da M
kompakt ist
,
existiert eine in M
konvergente
Teil
folge yu
=
Xncu, mit
yu
→
y
c- M .
Da A
abgeschlossen ist ,
gilt yt A .
o
DEFINITION Sei f ( x dx ) und CY da, )
Y eine
Abbildung metrischen Räumen
→
:X zw .
, ,
• f
heißt stetig bei ae X , wenn KE > 07 d
>
0 :
f ( Boca) ) E BE ( feat )
fb d× (a )
< :
, b) <
d = >
dy ( fca) , Hb ) <
E
f heißt f für alle X
•
stetig , wenn stetig ist a c- .
f f ( Bo Ca) ) BE ( fca ) )
•
heißt gleichmäßig stetig ,
wenn FE > OJE > Ota c- X : E
•
f heißt Lipschitz stetig mit Lipschitz konstante LE Rt ,
wenn t a
,
b E X :
dy ( fca) ,
Hb) ) t
L .
dx ( a b) ,
BEMERKUNG :
Verknüpfungen stetiger Funktionen sind
stetig
SATZ Für eine
Abbildung f:X →
Y zwischen metrischen Räumen sind äquivalent :
(i ) f ist stetig
(ii ) AXE X und H kn E X ) neu mit *
→
×
gilt ein fan) =
flx )
n -
so
EY offen ( U)
^
(iii) U = >
f- E X offen
AE abgeschlossen
"
( ir ) Y f- CA ) s X
abgeschlossen
= >
Forf stetig , gilt :
( Äquivalente
Charakterisierungen von
Stetigkeit) ¥%fN=fC¥sx
BEWEIS :
( i) ⇐ >
( ii ) :
Analysis I
Iiii ) f- ( YIA ) f- TY ) (A)
" "
(N ) f- (A)
Sei
XI.fi#J
' '
l
AE Y abgeschlossen also A offen ist f-
= > :
Dann = =
=
, .
offen nach
abgeschlossen .
( iii )
( iv ) ( iii ) :
analog
)
'
(i ) ( iii Sei f UEY offen und f- CU ) d. h flx ) EU dass
stetig Wähle
>
=
:
xe E >
0 so
,
,
.
,
BE ( FCH ) E U E >
weil U offen . . .
) und d >
0 so ,
dass
f ( Bor (D) <
Be ( FCH ) ( -
→ weil f
stetig . .
.
) ,
))
"
dann ist f ( Br ( x E U ,
also f ( U ) ?
Bo ( x ) offen .
X ) f
"
( Be Aus ) ) Damit existiert 8>0
( iii ) = >
( i) : Sei XE und E> 0 .
Wegen iii ist offene
Umgebung von × .
ein ,
f- ( Be ( FG ) ) )
"
so dass Bs (x ) ± .
Also f ( Bo ( x ) ) E
BE ( FCH ) o
DEFINITION Seien ×, y metrische Räume ,
Eine
Abbildung f :X Y heißt Homomorphismus sie bijektiv und sowohl
>
wenn
• -
,
"
f- auch f
als
stetig ist .
°
X und Y heißen honöomorph ,
wenn es einen
Homomorphismus f :X → Y
gibt .
BEISPIEL :
C- 1,1 ) und R sind homomorph ,
da C- 1,1 ) > X Es tun ( x E) ER ein Honöom .
ist .
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller AdelinaB. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.83. You're not tied to anything after your purchase.
