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Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) - Formelzettel/CheatSheet $4.83
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Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) - Formelzettel/CheatSheet
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  • Course
  • Analysis 2 (MA9203)
  • Institution
  • Technische Universität München
  • Book
  • Analysis 1

Umfangreiches, doppelseitiges, handgeschriebenes und vollständiges Formelblatt (Cheat Sheet) für die Prüfung in Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2). Die behandelten Themen umfassen den gesamten Stoff des dazu passenden Skriptes/Mitschrift hier auf Stuvia. Auf der 2. Seite (Rückseite) befind...

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Document information

  • April 12, 2021
  • January 22, 2022
  • 3
  • 2020/2021
  • Other
  • Unknown

Subjects

  • analysis 2
  • analysis
  • physik
  • mathematik für physiker
  • formelzettel
  • cheat sheet
  • zusammenfassung
  • formelblatt
  • differentialrechnung
  • untermannigfaltigkeiten
  • metrische räume
  • lineare abbildungen
  • formeln
  • ext
  • tum

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  • Technische Universität München
  • Physik
  • Analysis 2 (MA9203)
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METRISCHE RÄUME
NPR MIERTE VEKTORRÄUME d-




„(
DIFFERENZIERBARFETT )




x.mg#.-. na. nas.ni*a. in0Ä÷:ijwfyÄy⇐ „
stetig >




zg.n.g.ggepig.nennayqagw.gqga.gg
=

-
( M d) ,
-
f: ✗ →
Y . . .




fünf f) f- ( KiTa ) [ 0,0 )



÷÷÷÷:
'
Metrik MXM Ein )
Stetig Norm II II


÷:÷÷÷÷÷:÷÷÷÷:÷÷÷÷;;:
d : →
. . .
, wenn
= : ✓ →



dcx , y ) 0 < ✗ y GI Stetig wenn FE > 070>0 Ya c- ✗ :
11×11=0 < × 0
Io f%+N;¥Y"
= = "
•
.
= - . -
,

f total differenzierbar JA linear 0 mit A- FA)
.

:
wenn =
-




, „
"" " "" " "" " "
" " "" " " " " ×

„„ „ „„ „„ „
„ „„„ „
„ yay , , ← „ ✗ „ „
.
.




DU % Ü <✗ }
RICHTUNGS ABLEITUNG dvfcx ) ⇐ ¥ FCX + tv ) / f- o ( Tff ) v3
)
JA
=


MIKE > 0 On Bean 0} M I I ( ✗ neu )
③(✗ y)
= → × ,

Bahn U # ( MW ) # c-
y linear
c- : : xn
}
: =



,
: =
:
✗ →
und beschränkt
↳ f
)
gygogpifaywy.nu (
UU du bei differenzierbar < dvfcx ) fix ) AA )
int U Ix } × > ✓
=

I U
: = =

U Umgebung von *
= =

c-




DEMO
„ „ „ „ „ „„ „ „„ „ „„
fK-ixitpji-xn-faforHA.tl
⇐
„ „ „„ „ „ ¥70
.




BEK) =

[ YEM I day ) < E } NORM „ PARTIELLE ABLEITUNG (× )
a u a " (a) „„
angspunueu.nu →
÷ ←


=D = > A unbeschränkt
„„ „ ABM (n)
<
„„ „ „„ „ „„ „ „ „ „„ „„ „ „ „„
.



„ „ „ „ „ „
„



fYA)abgesü% !
" "
„ „ „
bei f :# →
☐ stetig on Karo)


| (0^-440) ""
- - -
.




Jacobi Matrix If Go)
" " "" " " " " " "" ÷ "
-




" "" "
"
:=
" " " " "" " " -
"
" "" " "

„ „„ „ „ „„

Und ABGESCHLOSSEN ⇐ Kopieren , Asean ,



„„„„=qg.¥,qgy
-




FETTEN REGEL
U BESCHRÄNKT ] CERIV-x.yc-U.dk/,y)c-CMZUSaMenh. , A
Jgof (✗ ) Ig ( FAO) ) ] (x )
.




for Ui offen ✗ →
Y linear =
f-




)
: :
o
wenn
[mit
¢
£
< A Lipschitz stetig
Chun Uns Uz ( y (t ) ) D. ✓ ( H) ) j (t )
-




¢!! )
M # •

,
=
oder ✓ =
y
/ I. II )
"
In ( K für UEK
" < A stetig bei × of
gilt
-

_




:

✗
•
, "" " ←
wegzugn .

, wenn × .
, ← × , µ < „ „ „ „ an ,

abgeschlossen ← µ,
"" ,

kompakt < Igel ( [ 0,1]) yco) a) in X ° "
=
:
ny =p
und beschränkt Normen sind äquivalent ,

, < Infernal , in µ
„ nom , an , * „ „ „ g. „ „ papa grauen , „„☐ na , zu
„„ „„ „ „„ „„ „ „ „ „„
g. . . . .




fi
Gebiet offene f Monoton
!
" " Menge +
Banach raum streng [✗ } und
f beschränkt
'
Ne
"

f :[a Nivea Linien Rl / f) (
stetig y] c-
=
• = > :-.
>
f injektiv
,
=

ist vollst nom Vektorraum
KOMPAKTHEIT S ARGUMENT Ist U zsh .
und . -




ihrer Tangente TG ) :
-

-




yoi-ytx.la/-xo)=yo+Y-o(x- xD
f- ( ✗ ) ist kompakt lstf ✗ : →
Ysietig " '


Punkt ( xoxo )
kompakt
•
n

„ „ „„ „
f auf X
gleich Stetig d.h. JCERI ttet
•


1- stetig fcyct) ) (

!!;]!!!!!!!
.
:
± es
=
mit =

meinte
"
" "
Supremums
:



¥
•
> MAX / MIN auf f in ZWS ! 3- fcz )
Folge konvergiert ))
Yt DHfK [ (t ) >
>
= =
Cauchy > I < 0
d- " "A- supthn-y.li } fgurjek.fi ✓
= =
.
-
.




c- :
.




= >




DEMO
,
. .




-



.




TAYLOR APPROXIMATION

:*:*:*
<
alle diffbar
* fidiffbar und alle Oif
Steig stetig partiell
• = > .




⇐„÷;__(
.
/ RPG a) |
=
= > ( im /

< •
¥:b Ip (
z.it#xp+(1-z&:f(y)-fCx)--TfCz ) (
"
a) FA ) UM
analytisch JIE [ 0,1 ] )
=

=
reel wenn × , ✗ c-
×
y
„
, : -




" "
f
" :
Taylor polynom von : ☒ →
Rt AERI E zwischen und y
Verbindungsstrecke
um
✗


TGI-tca-dnfcalx-ai-I.cn?f(a)(x-aYt--.-L-:OnkfCa)Cx-at
SATZ-vonSCHWARZ-i.didjfcx7-djdifGMits.vn
I nations vektor it ( z.B .
K -2 -
:
Oxxf , dxyf , dyxf Oyyf ) ,




( UN ) fcacuiv ) bcu.ir ) ) HESSE MATRIX Stetigkeit durch z.B AfA ) Hall ⇐ 11×-011 C L stetig !
-




gegeben
- .




wenn
g
= -

, .




,




„„„„„„„„„„„÷;y¥;g;§¥„
Hesse Matrix
gesucht f Taylor




„„g„„„„„„„„„„„„„,„„„)
und →
neues in „ „„ „ „„ „ „ a

einsetzen und Ön ablesen ! f- (A) =


A
"
→
f (A) (B)
'
= -




A
"


B A-
^




( × a
-




Hf ( f (A) MA f (A) (B) MB
→ '


g)
= =




a,

f (A) = ich (A) =
A →
f- (A) (B)
' =
B




DEMO
f- (A) AMA FCA ) (B) BMA + AM B
EXTREMA
= =
→


quadratische Form Qcv ) Qv > vtttv




„„„,„„„„„„„„„„„„„.„„_÷ „„„„„„µ„„„„.„„„„„.„„„„÷
=
< v, =




"× ) "✗ )
"

HZO
"
f- (A) =
ATA →
FCA ) ( B ) =

BTA + ATB
"> # " " " " "} >




}
Qcv )
" " :
°
Kv # 0
H> 0 0 ⇐ °
>
positiv detin ,it
< = >
•

positiv senide # nit
EW Ai vo n H :
zi > ☐ isoliertes MIN bei ✗ o


f-(A)
>
<
oh (A) FCA ) (B) [ h ' (A) ( B)]
=




( NA)
→ '

g
=

g
= -




<= > det ( A# ) =
O YA #


}
"
"
JE Beko ) KXOJ :-( A) fcxo )
definit H< 0
"

H
> 0 ✗ c- <

negativ
"
•
< = > Qcv ) < 0 ✓ =/ 0 = >
← 0
< = > EW Ai vo n H : 1- < 0
= >
isoliertes MAX bei ✗ o
negativ semi definit


indefinit
"
H 0
"


negativ } SATTELPUNKT INTEGRALRECHNUNG
D
=
nicht
<
positiv oder




Ö
•




" dt


IFA )
'



mit Xo stationär / kritisch bei TFAD-T-d.tn 3- Umgebung Vvonxo ,
in der f Extremum annimmt L FA ) : =
, × ) dt =

a
, „ dt
Mit Flt ,
x ) vektorwertig .




( ⇐ Rl
"
KONVEX ,
wenn V-xiyc-CV-t.COM ) :
c- × + ( 1- f) y c- (
for f
stetig auf U offen = >
¥f(×)=%¥F(t,×)dtf
f :( → ☒ KONVEX wenn × y c- ( Kf c- ( 0,1 ) f- ( Ex + (1 - f) y) E- tf ( x ) + ( 1- E) fly ) SATZ FUBINI ( F :[ c. d] [ ab ]
stetig )
: :
, , von ✗ →
☒
n




diwff-N-Y-t-y-TXH.ca
( strikt )

f :
y = # konvex . . .
HfG) 70 < f konvex auf U ,
d. h . lokales MIN globales MIN
[ ( IFA ,
t ) dt ) dx =

[([ Fcxitldx ) dt
) > o < f strikt konvex d. h höchstens ein MIN
parameter
abhängige Integrale
,
.




:


KH) hcx)




KURVEN INTEGRALE und VEKTOR FELDER
KALKÜL




⇐„„ „ „ „ „y÷÷÷÷÷;„ ①„⇐=÷a⇐
NABLA
/1
U23)
gerade Permutationen
-




?_?
von




DEMO
k
) (diffbar )
"
( Kurve c- C ( [to.tn] RI
" •
stückweise wenn
✗
=
Yi
y
-




g.IS?.EijkajDi-- |
Ms)
,

ungerade Permutationen
,

Eijk I
=
Levi Ceuta Tensor
von
-




(a ✗ b) c- mit
-
-




""
=




ßm⇐÷j
""" " " " ""
/ ¥ 11J (f) It
•



gleich)
"" " =
° sonst G- B
" mind zwei Indizes
((y )
- -




Länge dt
-




: =

FEE [ taten]
regulär j (t) # 0 a.ca b. ( b) o
•
wenn
, →
> b) = * =




Gradienten feld : f- =D = >
DX F =
0 Rotations frei !
C- Vektor feld FEÜTR "
R
"
) Rotations Geld F- DX E !
↳ auf .
. . um
parametrisieren : ,
→ axcyx c) =
b ( a c) -
( ( ab)
:
☐ •
F =
0
Divergenz frei
"" " "" it Gradienten Feld FA ) =p (× ,
}
① sct) bilden
"
" :



② nach tcs ) uniformen Einheit
sgeschw mit Eich Freiheit :
( nicht
eindeutige Potentiale)



„„=
.




wenn man ein Potential ①( x) =P
③ in
✗ A) einsetzen :
äwcniauene

0c-czu.ie)
findet
grad
( Oic)
Kurve mit
① = c Konstante

ft-X://t.j-at-fr-cnaFEII.sn?i-g.:PxE--Px
☐ . . -




„„
„
Kurven integral
( Ex Pe ) V9 .
.


Eichung ritt :
U - > ☒
,
↳
) F- ( r ) [t (Vektor potential)
" "
FELCR R konservativ d.h. § Fcr) dr
-



O Fct , ) drxr
z.B
-



/ , : = r
.




Oitj =
Dj Fi

+1£
edjm_ mD
=

U the Utt [ 0,1 ]
Eijk Eren
0A ) ¥ sternförmig Ja
:
Mit
U c-
:
: =
Fcr ) a r wenn c-
,

<= > F ist
unabhängig d. h { Flrldr =

Sjfcrldr

tianya.sar-oga.ro/gc.J-I!Fa=a!!EImr
weg ,


mit
✗
an =
g- an und zu> =
JG ) mit n : +
→
☒ stetig
t-a+4-t)-XE- = > Jede konvexe Menge ist
:
sierniörnig
⇐>

IMPLIZITE FUNKTIONEN => it
Ableitung
:
"

SCHRANKEN SATZ ( 4. Y ) LOKALE UMKEHRBARKEIT n




JIM-n-tdyfGID~JxfCXIYT-d.h.de#fx)--O,fregvl--ar-
'
FEC
Funktion f ☒ ✗ ßn ☒ regulär
Imp




t-T.si:0#.;-. . .i.F---s-:::.¥÷¥F
mnmT
,; # : →




HfG) -
ff) II C- Hf / /
'
Hy -

× ] FAO ) Vektorraum -




Isomorphismus . mit Nullstellen
Menge N : =
f( * yo ) / ,
f- ④ = 0 }
[ * ,]




→""
oder einfacher

II
wenn dyfcxoiyo) invertierbar ,
Many ] EIL Hf
'

Hf
'
Mit : =
G)

d.h.detCJycxoiyoD-V-ao.y.to
✓ ""
>
Joffe" "
9lb ""
9
✗°
=


und Fxcxo -107=0
Banachräumen ,

Abbildungen zw .




! Mit FA) offen und flv Difleonorphisrlus ggü
↳
auf konvexen sind L stetig
kompakten & ?
-




Mengen Existiert 10k¥ Auflösung nach "
(÷ ! ) §) §!
,




7 7<1
= >
z.B fcyw × z ) =
=
( %,#
es

4:14 M ist Kontraktion wenn
:
d. h f /✓ und f-
^
u differenzierbar ,
y
bijektiv
.

, ,



Ü (× )
→ eine ,
:
✓→

FEXIY) 0¥
.




V1 SO dass 0 =
tx y EM d ( ✗ ( x ) Ky ) ) < Idk Y)
→ d. h =
Y nach × z auflösen
dima )
/
:
y
dim (a)
, , ,
,
=




FIXPUNKTSATZ
Lösungswege yi geben
"

dann kann mehrere
Fixpunkt 3=419)
es „

4 besitzt eindeutigen
✗ ( ✗ n) →
{ Satz über
implizite Funktionen !
jede Folge
: =
sodass xn.in
?⃝
?⃝

?⃝ ?⃝ ?⃝

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