Summary
Samenvatting Reken en wiskundedidactiek - Meten en meetkunde (PBVB16REW2)
- Course
- Institution
- Book
Uitgebreide samenvatting over het boek en de PowerPoints die worden behandeld bij de colleges!
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
Seller
Follow
Willems4
Content preview
Meten en meetkundeHoofdstuk 1: Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte,
oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie
van meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maat. Een meting levert een meetgetal op.
Voor het meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden ingezet. Ook kan een meting
plaatsvinden via beredeneren en rekenen. (de berekeningen)
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte, zoals
plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren. Verder gaat het om
projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en om allerlei twee- en driedimensionale weergaven
van de werkelijkheid. Ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin. (de verklaringen)
Verschillende definities:
Meetkunde is het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte.
Meetkunde is op te vatten als ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
De meetkunde of geometrie (van het Oudgrieks: γεωμετρία, geo-"aarde",-Metria "meting") het
"meten van de aarde" is het onderdeel van de wiskunde, dat zich bezighoudt met het bepalen van
afmetingen, vormen, de relatieve positie van figuren en de eigenschappen van de ruimte.
De specifiek Nederlandse term meetkunde werd rond 1600 door de Vlaamse wiskundige Simon Stevin
geïntroduceerd (Wikipedia).
Ruimtelijk beredeneren: in gedachten bijvoorbeeld het vouwen van papier en bepalen welke
stukken papier in berekening moeten worden opgenomen.
1.1.1 Meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde. De vraag, wat de
inhoud van bijvoorbeeld een doos is, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de
eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal
aan toekennen. Als de doos vervolgens – in gedachten – wordt gevuld met kubieke centimeters,
wordt er ruimtelijk geredeneerd. Er wordt een meetkundige (denk)handeling verricht om de
meetvraag te beantwoorden. Door het precies vullen van de doos wordt er richting het berekenen
van de inhoud gegaan.
Ook in situaties waarin ervaren wordt dat een bepaalde inhoud – bijvoorbeeld één liter –
verschillende (ruimtelijke) vormen kan aannemen, raken meten en meetkunde elkaar. Aangezien het
gaat om de grootheid inhoud, gaat het om het domein meten. Het onderzoeken van de vormen die
de liter kan aannemen – ronde fles, rechthoekig pak, in een kubieke centimeter - en de benamingen
daarbij (cilinder, balk, kubus) vallen binnen meetkunde.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Ook bij de grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Een
oppervlakte van 1 cm2 kan bijvoorbeeld verschillende (meetkundige) vormen in het platte vlak
hebben.
Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes. Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een
bepaalde oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen. Een rechthoek wordt bijvoorbeeld
uitgedrukt met een aantal driehoekjes.
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras:
,Voorbeeld van de wijze waarop mensen al lang geleden probeerden om de ruimte om hen heen
zowel getalsmatig als ruimtelijk te beschrijven. Deze stelling beschrijft de vaste relatie tussen de
lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2.
Gulden snede:
Een verhouding die staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat. Ook hierin
gaat het om meten en meetkunde: in allerlei meetkundige figuren zijn afmetingen volgens deze
verhouding terug te vinden.
Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het
grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de
gulden snede te pakken. Deze verdeling is bij een lijnstuk van ongeveer 38,2 en 61,8 cm. Een
veelgebruikte benadering van de gulden snede is 0,618; aangeduid met phi φ.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Beide domeinen komen al vanaf de kleutergroepen expliciet aan bod en blijven dicht bij de
waarneembare werkelijkheid. Daardoor bieden ze aan kinderen de mogelijkheid zelf ervaringen op te
doen. Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Letterlijk gereedschap zijn de liniaal of
maatbeker. In bredere zin kun je het ook opvatten als het beheersen van de wiskundetaal die van
pas komt in het dagelijks leven (breed, smal, hoog en laag, en richtingen zoals noord en zuid). Een
andere overeenkomst is dat het onderwijs zich kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van
een onderzoekende houding: wiskundige attitude. Bezig zijn meten en meetkunde levert ook een
belangrijke bijdrage aan gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan
het doen (uitvoeren van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen (bijvoorbeeld de maten
uit het metriek stelsel) en begrijpen (optreden van meetfouten, maatverfijning en kiezen van de
juiste maat). Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties
en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en
beantwoorden van de ‘waarom-vraag’, gericht op het verklaren.
1.2.3 Samenhang in activiteiten
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde geïntegreerd aan bod te laten komen.
- Activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid, zoals plattegrond of bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Rondom een
bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om meetactiviteiten (wat is de inhoud of oppervlakte
bijvoorbeeld).
- Plattegronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen en het bepalen van
locaties behoren tot het domein meetkunde; afstanden en oppervlaktes tot domein meten.
- Tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling op de aarde valt onder meetkunde, evenals de
kennis die te maken heeft met het draaien van de aarde om haar as en om de zon.
Tijdsmeting ligt op het terrein van meten.
- Maken van een zonnewijzer: voorspellen van (het verloop van) de schaduw valt onder
meetkunde, tijdmeting onder meten.
,Hoofdstuk 2: Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet weg te denken uit onze samenleving: in het dagelijks leven kom je voortdurend in
aanraking met meetgetallen. Zoals etiketten op levensmiddelen, de snelheidsmeter in de auto, de
temperatuur en windsnelheid in een weerbericht. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als
gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of
maateenheden (kortweg: eenheden), die afhankelijk van de situatie worden gebruikt.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties. Zo weet je dat er bij een lichaamstemperatuur
van 39 graden Celsius sprake is van koorts; het referentiegetal waar je van uitgaat is namelijk 37. Nog
zo’n referentiegetal is 365: ook zonder de maat denk je aan het aantal dagen in het jaar.
Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen, bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter,
een pak sap bij een liter en een pak suiker bij een kilogram. Dit zijn voorbeelden van
referentiematen.
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Bijvoorbeeld bij de
maatbeker die wordt gevuld om een hoeveelheid vloeistof af te meten. Andere meetinstrumenten
liggen in het verlengde van afpassingen met een maat: zo is een rolmaat te zien als een
aaneenschakeling van meters. Het afpassen kan ook verder naar de achtergrond verdwenen zijn; bij
een digitale weegschaal of een digitale koortsthermometer is de werking van het meetinstrument
zelf niet zichtbaar, maar lees je direct het meetresultaat af.
Met een unster (een weeghaak met trekveer) wordt het gewicht van een voorwerp zichtbaar in de
uitrekking van de veer. Dit is een lengtemeting: een groter gewicht levert een grotere uitrekking op.
Omdat je de ene grootheid (lengte) meet om een andere grootheid (gewicht) te bepalen, wordt dit
indirect meten genoem d. Ook bij een kwikthermometer is hier sprake, grootheden: lengte en
temperatuur.
Op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms is er sprake van verschillende
schaalverdelingen op hetzelfde instrument. Een voorbeeld hiervan is een maatbeker, waarmee je
een hoeveelheid vloeistof, suiker of meel kunt afmeten.
2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Je kunt bijv. zeggen dat iemand 1,86 meter (een kommagetal) of
186 centimeter (geen kommagetal) lang is. Bij 1,86 meter is de gehanteerde maat de meter en is het
meetgetal tot op de centimeter nauwkeurig.
Meetgetallen kunnen een verschillende meetnauwkeurigheid hebben. Bijv. temperatuur buiten is 17
graden Celsius en lichaamstemperatuur is 37,6 graden Celsius. De afstand tussen twee getallen
waarbinnen het meetresultaat ligt, heet een meetinterval. (17 graden ligt tussen 16,5 en 17,5
graden)
De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid. In die zin treden
bij meten per definitie meetfouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit verband
wordt aangeduid als foutenmarge. (bijvoorbeeld de 0,5 graden ^) Om het effect van zo’n meetfout
op het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald uitvoeren en vervolgens het
gemiddelde van de meetresultaten nemen.
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
Als elementaire vorm van meten werden voorwerpen rechtstreeks met elkaar vergeleken.
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld
, - een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast, zoals de voet voor de
grootheid lengte, of kun je met een ‘kommetje’ dat je van beide handen maakt een bepaalde
inhoud afmeten.
- In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen redelijkerwijs konden presteren:
de maten dagmars en uren gaans werden voor afstanden gebruikt. De morgen werd gebruikt
voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon worden: een tijdsduur als
oppervlaktemaat.
Zijn vormen van indirect meten.
Het gebruik van natuurlijke maten heeft meetonnauwkeurigheid tot gevolg: niet alle voeten zijn
immers aan elkaar gelijk. Per regio werd er een standaard nagestreefd: een vaste afgesproken maat.
Doordat elke regio zijn eigen maten erop nahield, werd de handel echter bemoeilijkt. De
Amsterdamse voet was bijvoorbeeld groter dan de Rijnlandse. Er was behoefte aan (inter)nationale
standaardisering.
Kort na de Franse Revolutie (1789) werd het metriek stelsel in West-Europa vastgesteld: stelsel van
maten en gewichten, waarbij de meter als standaardmaat is gekozen. Deze kreeg een centrale plaats
in het stelsel: aan de basiseenheid meter werden andere maten gekoppeld, zoals de vierkante meter
voor de grootheid van oppervlakte. Ook werd een tientallige maatverfijning afgesproken, waarmee
lengtematen als centimeter en kilometer om te rekenen zijn naar de meter. Griekse ‘metron’= maat.
Oude maten werden geschrapt na het opstellen van het metriek stelsel, of gelijkgesteld aan nieuwe
maten uit dit stelsel. Zo werd de al in gebruik zijnde maat liter gelijkgesteld aan een kubieke
decimeter, de are aan een vierkante decameter en de bunder aan een vierkante hectometer of
hectare. De oude maten ons en pond werden gelijkgesteld aan 100 respectievelijk 500 gram.
1 dm3 = 1 L 1 are = 1 dam² = 100 m² 100 hectare = 10.000 m2 = 100km²
1 g = 1 cm3 1 ca = 1 m²
Om de meter als standaardmaat te verspreiden, werden platina staven gemaakt van precies 1 meter
1
lang. Sinds 1983 is de meter gedefinieerd als de afstand die licht in het deel van een
299792458
seconde in vacuüm aflegt. De huidige internationale afspraken voor een groot aantal grootheden en
eenheden liggen vast in het in 1960 opgestelde SI-stelsel of Internationaal Stelsel van Eenheden. De
zeven niet samengestelde grootheden:
Grootheid Symbool grootheid Eenheid SI-symbool
Lengte l Meter m
Massa m Kilogram kg
Tijd t Seconde s
Temperatuur T Kelvin K
Elektrische stroom I Ampère A
Lichtsterkte Candela cd
Hoeveelheid stof Mol mol
Het imperiale systeem is een systeem die andere maten hanteert in de Verenigde Staten:
Maat Symbool Onderlinge relatie Lengte in cm
Inch in of “ - 2,54 cm
Foot ft of ‘ = 12 inches 30,48 cm
Yard yd = 3 feet 91,44 cm
Mile mi = 1760 yard 1609,344 m
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Willems4. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.82. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
50843 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now