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Résumé cours mathématiques sur la concentration et la loi des grands nombres
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Cours entier de mathématiques sur la loi des grands nombres et la concentration avec des exemples d'exercices corrigés.
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manondinjon
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1CONCENTRATION,
LOI DES GRANDS NOMBRES
I. Moyenne d’un échantillon
1) Définition
Exemple :
On lance un dé à six faces et on considère la variable aléatoire X qui prend la valeur
1 si le dé s’arrête sur un chiffre pair et la valeur 0 sinon.
1
X suit donc une loi de Bernoulli de paramètre .
2
On répète deux fois de suite cette expérience. On considère alors l’échantillon
( X 1 , X 2 ) de taille 2 de variables aléatoires X 1 et X 2 suivant la même loi que X .
Il est ainsi possible d’évaluer le résultat d’une telle expérience en étudiant la variable
aléatoire moyenne de X 1 et X 2 .
On appelle M 2 la variable aléatoire moyenne de l’échantillon ( X 1 , X 2 ) .
Alors M 2 peut prendre les valeurs suivantes :
Valeur Probabilité Valeur Probabilité Probabilité Valeur de Probabilité
de X 1 de X 1 de X 2 de X 2 de ( X 1 , X 2 ) M2 de M 2
1 1 1 1 1 0+0 1
0 0 × = =0
2 2 2 2 4 2 4
1 1 1 1 1 0+1 1
0 1 × = =
2 2 2 2 4 2 2 1 1 1
+ =
1 1 1 1 1 1+ 0 1 4 4 2
1 0 × = =
2 2 2 2 4 2 2
1 1 1 1 1 1+ 1 1
1 1 × = =1
2 2 2 2 4 2 4
Et on a ainsi la loi de probabilité de M 2 :
1
k 0 1
2
1 1 1
P( M 2=k)
4 2 4
Définition : Soit ( X 1 , X 2 , … , X n ) un échantillon de taille n de variables aléatoires
indépendantes suivant une même loi.
La variable aléatoire moyenne M n de l’échantillon est donnée par :
1
M n= ( X 1+ X 2 +… + X n ) .
n
, 2
2) Propriétés
Exemple :
On reprend l’exemple précédent.
- Calculons l’espérance de M 2 :
1 1 1 1 1
E ( M 2 )=0 × + × +1 × =
4 2 2 4 2
On retrouve l’espérance de la variable X .
On comprend intuitivement que l’espérance de la variable aléatoire moyenne d’un
échantillon ( X 1 , X 2 , … , X n )est égale à l’espérance de la variable aléatoire X associée
à cet échantillon.
- Calculons la variance de M 2 :
1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1
4 2( )
V ( M 2 )= × 0− + × − + × 1− =
2 2 2 4(2 8 ) ( )
Alors que :
1 1 1
V ( X )= × =
2 2 4
Ainsi la variance de la variable aléatoire moyenne est plus faible que la variance de
la variable d’origine.
De plus, la dispersion de la variable aléatoire moyenne diminue au fur et à mesure
que la taille de l’échantillon n augmente.
En effet, si l’échantillon devient plus grand, le nombre de situations pouvant donner
des valeurs proches de l’espérance augmente.
Ainsi, les valeurs prises par la moyenne deviennent de plus en plus probables dans
un voisinage de l’espérance.
Propriété : Soit une variable aléatoire X et soit un échantillon ( X 1 , X 2 , … , X n ) de taille n
de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que X .
1 1
E ( M n )=E ( X ) V ( M n ) = V ( X ) σ ( M n )= σ (X )
n √n
Méthode : Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire
moyenne
on considère la variable aléatoire X qui prend, de façon équiprobable, les valeurs –4,
0, 1, 3 et 6.
M 50 est la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille 50 de la loi de X .
Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de M 50.
Par équiprobabilité, on établit le tableau de la loi de probabilité de X .
k –4 0 1 3 6
1 1 1 1 1
P( X=k )
5 5 5 5 5
On a ainsi :
1 1 1 1 1
E ( X ) = × (−4 ) + × 0+ ×1+ ×3+ ×6=1,2
5 5 5 5 5
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