CHAPITRE 18 : ESPACES PRÉHILBERTIENS
1. Formes bilinéaires
1.1. Dé
nitions.
Dé
nition. Soit E un R − ev (ev abrégera espace vectoriel). Une forme bilinéaire
sur E est une application ϕ de E² dans R telle que :
∀x ∈ E , l'application de E dans R, y 7→ ϕ(x, y) est linéaire
∀y ∈ E , l'application de E dans R, x 7→ ϕ(x, y) est linéaire
Proposition. Les propriétés suivantes utilisent les conditions de la dé
nition pré-
cédente :
ϕ(a, x + y) = ϕ(a, x) + ϕ(a, y)
ϕ(a, λ.y) = λ.ϕ(a, y)
ϕ(x + y, b) = ϕ(x, b) + ϕ(y, b)
ϕ(λ.x, b) = λ.ϕ(x, b)
ϕ(0, y) = ϕ(x, 0) = 0
ϕ(λ.x, λ.y) = λ2 ϕ(x, y)
ϕ(a + b, x + y) = ϕ(a, x) + ϕ(a, y) + ϕ(b, x) + ϕ(b, y)
Dé
nition. Une forme bilinéaire ϕ sur E est symétrique si
∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique ϕ sur E est positive si
∀x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique ϕ sur E est dé
nie si
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique, dé
nie et positive est un produit
scalaire.
Pour un produit scalaire ϕ, ϕ(x, y) est souvent noté < x , y > ou (x|y).
Dé
nition. Un espace préhilbertien réel est un couple (E,ϕ) où E est un R − ev
et ϕ un produit scalaire sur E. Un espace euclidien est un espace préhilbertien de
dimension
nie.
1
,2 CHAPITRE 18 : ESPACES PRÉHILBERTIENS
1.2. Exemples.
(
R2 →
Exemple. Soit ϕ :
R
un produit scalaire sur R
(x, y) 7→ x.y
C'est clairement une forme.
Montrons que ϕ est symétrique :
Soit (x , y) ∈ R2 . ϕ(x, y) = x.y = y.x = ϕ(y, x). ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est linéaire par rapport à x :
∀y ∈ R, ∀(x1 , x2 , λ) ∈ R3 , ϕ(x1 + λ.x2 , y) = (x1 + λ.x2 ).y = ϕ(x1 , y) + λ.ϕ(x2 , y)
Montrons que ϕ est positive :
∀x ∈ R, ϕ(x, x) = x2 ≥ 0 ϕ est positive.
Montrons que ϕ est dé
nie :
∀x ∈ R, ϕ(x, x) = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 ϕ est dé
nie.
(
(Rn )2 → Rn
Exemple. Soit ϕ : Pn un produit scalaire
((x1 , ..., xn ), (y1, ..., yn )) 7→ k=1 xk .yk
sur Rn .
On pose xP = (x1 , ..., xn )et
Pyn = (y1 , ..., yn ).
n
ϕ(x, y) = k=1 xk .yk = k=1 yk .xk = ϕ(y, x)
ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est linéaire par rapport à x :
∀y ∈ Rn , ∀a, b ∈ PRn , ∀λ ∈ R
n Pn Pn
ϕ(a + λ.b, y) = k =1 (ak + λ.bk ).yk = k =1 ak .yk + λ. k =1 bk .yk = ϕ(a, y) + λ.ϕ(b, y)
ϕ est linéaire par rapport à x. De plus ϕ est symétrique donc linéaire par rapport
à y. Donc bilinéaire. P
n
n
∀x ∈ R , ϕ(x, x) = k=1 x2k ≥ 0
ϕ est positive. Pn
∀x ∈ Rn , ϕ(x, x) = 0 ⇒ k=1 x2k = 0 ⇒ ∀k ∈ {1, ..., n}, xk = 0 ⇒ x = 0
ϕ est dé
nie.
(
(M2 (R))2 → R
Exemple. Soit ϕ : est un produit scalaire. (Se généralise
(X, Y ) 7→ tr(t X.Y )
pour Mn (R))
a b e f
Soit X = ,Y =
c d g h
t a c
X =
b d
t a.e + c.g a.f + c.h
X .Y =
b.e + d.g b.f + d.h
tr (t X .Y ) = a.e + c.g + b.f + d .h
Montrons que ϕ est symétrique :
Soit X , Y ∈ Mn (R)
ϕ(X, Y ) = tr(t X.Y ) = tr(t X. t Y ) = tr(t (t Y.X)) = tr(t Y.X) = ϕ(Y, X )
t
ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est bilinéaire (linéaire par rapport à X) :
Soit Y ∈ Mn (R).Soit X1 , X2 ∈ Mn (R), λ ∈ R
ϕ(X1 + λ.X2 , Y ) = tr(t (X1 + λ.X2 ).Y ) = tr(t X1 .Y + λ.t X2 .Y ) = ϕ(X1 , Y ) +
λ.ϕ(X2 , Y )
ϕ est linéaire par rapport à X et symétrique donc bilinéaire.
, CHAPITRE 18 : ESPACES PRÉHILBERTIENS 3
Montrons que ϕ est positive :
X = (xi,j )i,j
ϕ(X, X) P= tr(t X.X)
Ci,i = k =1 xk ,i .xk ,i = k =1 xk2,i (la trace est la somme des éléments diagonaux
n Pn
mais t X .X possède des coe
cients qui sont en réalité le carré de chaque ligne ou
colonne de X donc Pn Ci,i sont P
les éléments
Pn diagonaux de t X .X )
t n 2
tr ( X .X ) = i=1 Ci,i = i=1 k =1 xk ,i ≥ 0
ϕ est positive.
Montrons que ϕ est dé
nie :
Soit X ∈ Mn (R) tel que ϕ(X, X) = 0 ⇒ ni=1 nk=1 x2k,i = 0 ⇒ xk,i = 0 donc
P P
tous les coe
cients de X sont nuls.
ϕ est dé
nie.
Proposition. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si E est un préhilbertien alors
√
: √
∀(x, y) ∈ E 2 , |< x, y >|≤ < x, x >. < y, y > avec égalité si et seulement si
(abrégé ssi) (x , y) sont liés.
Démonstration. Soit (x , y) ∈ E 2 et λ ∈ R.
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x + λ.y > +λ. < y, x + λ.y >
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x > +λ. < x , y > +λ2 . < y, y > +λ. < y, x >
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x > +2 .λ. < x , y > +λ2 . < y, y >
On reconnaît un polynôme du second dégré en λ .
4 = 4. < x, y >2 −4. < x, x > . < y, y >≤ 0 car le polynôme est postif ou nul
donc le discriminant √est négatif.√
donc |< x , y >|≤ < x , x >. < y, y >
Si (x , y) sont liés, ∃µ ∈ R, y = µ.x
|< x , µ.y >|=| µ | . < x , x >
√ √ √ p
< x , x >. < y, y > = < x , x >. µ2 . < x , x > =| µ | . < x, x >
√ √
donc |< x , µ.y >|= < x , x >.√ < y, y > √
Réciproquement, si < x , y >= < x , x >. < y, y > alors 4 = 0 donc λ0 est une
racine double.
< x + λ0 .y, x + λ0 .y >= 0 (par la propriété du produit scalaire dé
nie).
x + λ0 .y = 0 donc (x , y)sont liés.
2. Normes
Dé
nition. Soit E un ev (espace vectoriel). Une norme sur E est une application
N de E dans R telle que :
∀x ∈ E, N (x) ≥ 0
N (x ) = 0 ⇐⇒ x = 0
N (λ.x ) =| λ | N (x )
N (x + y) ≤ N (x ) + N (y)
N (x ) est souvent noté kx k.
Proposition. Soit k k une norme sur E. Alors :
∀(x, y) ∈ E 2 , | kxk − kyk |≤ kx − yk ≤ kxk + kyk
1. Formes bilinéaires
1.1. Dé
nitions.
Dé
nition. Soit E un R − ev (ev abrégera espace vectoriel). Une forme bilinéaire
sur E est une application ϕ de E² dans R telle que :
∀x ∈ E , l'application de E dans R, y 7→ ϕ(x, y) est linéaire
∀y ∈ E , l'application de E dans R, x 7→ ϕ(x, y) est linéaire
Proposition. Les propriétés suivantes utilisent les conditions de la dé
nition pré-
cédente :
ϕ(a, x + y) = ϕ(a, x) + ϕ(a, y)
ϕ(a, λ.y) = λ.ϕ(a, y)
ϕ(x + y, b) = ϕ(x, b) + ϕ(y, b)
ϕ(λ.x, b) = λ.ϕ(x, b)
ϕ(0, y) = ϕ(x, 0) = 0
ϕ(λ.x, λ.y) = λ2 ϕ(x, y)
ϕ(a + b, x + y) = ϕ(a, x) + ϕ(a, y) + ϕ(b, x) + ϕ(b, y)
Dé
nition. Une forme bilinéaire ϕ sur E est symétrique si
∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique ϕ sur E est positive si
∀x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique ϕ sur E est dé
nie si
∀x ∈ E, ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0
Dé
nition. Une forme bilinéaire symétrique, dé
nie et positive est un produit
scalaire.
Pour un produit scalaire ϕ, ϕ(x, y) est souvent noté < x , y > ou (x|y).
Dé
nition. Un espace préhilbertien réel est un couple (E,ϕ) où E est un R − ev
et ϕ un produit scalaire sur E. Un espace euclidien est un espace préhilbertien de
dimension
nie.
1
,2 CHAPITRE 18 : ESPACES PRÉHILBERTIENS
1.2. Exemples.
(
R2 →
Exemple. Soit ϕ :
R
un produit scalaire sur R
(x, y) 7→ x.y
C'est clairement une forme.
Montrons que ϕ est symétrique :
Soit (x , y) ∈ R2 . ϕ(x, y) = x.y = y.x = ϕ(y, x). ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est linéaire par rapport à x :
∀y ∈ R, ∀(x1 , x2 , λ) ∈ R3 , ϕ(x1 + λ.x2 , y) = (x1 + λ.x2 ).y = ϕ(x1 , y) + λ.ϕ(x2 , y)
Montrons que ϕ est positive :
∀x ∈ R, ϕ(x, x) = x2 ≥ 0 ϕ est positive.
Montrons que ϕ est dé
nie :
∀x ∈ R, ϕ(x, x) = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 ϕ est dé
nie.
(
(Rn )2 → Rn
Exemple. Soit ϕ : Pn un produit scalaire
((x1 , ..., xn ), (y1, ..., yn )) 7→ k=1 xk .yk
sur Rn .
On pose xP = (x1 , ..., xn )et
Pyn = (y1 , ..., yn ).
n
ϕ(x, y) = k=1 xk .yk = k=1 yk .xk = ϕ(y, x)
ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est linéaire par rapport à x :
∀y ∈ Rn , ∀a, b ∈ PRn , ∀λ ∈ R
n Pn Pn
ϕ(a + λ.b, y) = k =1 (ak + λ.bk ).yk = k =1 ak .yk + λ. k =1 bk .yk = ϕ(a, y) + λ.ϕ(b, y)
ϕ est linéaire par rapport à x. De plus ϕ est symétrique donc linéaire par rapport
à y. Donc bilinéaire. P
n
n
∀x ∈ R , ϕ(x, x) = k=1 x2k ≥ 0
ϕ est positive. Pn
∀x ∈ Rn , ϕ(x, x) = 0 ⇒ k=1 x2k = 0 ⇒ ∀k ∈ {1, ..., n}, xk = 0 ⇒ x = 0
ϕ est dé
nie.
(
(M2 (R))2 → R
Exemple. Soit ϕ : est un produit scalaire. (Se généralise
(X, Y ) 7→ tr(t X.Y )
pour Mn (R))
a b e f
Soit X = ,Y =
c d g h
t a c
X =
b d
t a.e + c.g a.f + c.h
X .Y =
b.e + d.g b.f + d.h
tr (t X .Y ) = a.e + c.g + b.f + d .h
Montrons que ϕ est symétrique :
Soit X , Y ∈ Mn (R)
ϕ(X, Y ) = tr(t X.Y ) = tr(t X. t Y ) = tr(t (t Y.X)) = tr(t Y.X) = ϕ(Y, X )
t
ϕ est symétrique.
Montrons que ϕ est bilinéaire (linéaire par rapport à X) :
Soit Y ∈ Mn (R).Soit X1 , X2 ∈ Mn (R), λ ∈ R
ϕ(X1 + λ.X2 , Y ) = tr(t (X1 + λ.X2 ).Y ) = tr(t X1 .Y + λ.t X2 .Y ) = ϕ(X1 , Y ) +
λ.ϕ(X2 , Y )
ϕ est linéaire par rapport à X et symétrique donc bilinéaire.
, CHAPITRE 18 : ESPACES PRÉHILBERTIENS 3
Montrons que ϕ est positive :
X = (xi,j )i,j
ϕ(X, X) P= tr(t X.X)
Ci,i = k =1 xk ,i .xk ,i = k =1 xk2,i (la trace est la somme des éléments diagonaux
n Pn
mais t X .X possède des coe
cients qui sont en réalité le carré de chaque ligne ou
colonne de X donc Pn Ci,i sont P
les éléments
Pn diagonaux de t X .X )
t n 2
tr ( X .X ) = i=1 Ci,i = i=1 k =1 xk ,i ≥ 0
ϕ est positive.
Montrons que ϕ est dé
nie :
Soit X ∈ Mn (R) tel que ϕ(X, X) = 0 ⇒ ni=1 nk=1 x2k,i = 0 ⇒ xk,i = 0 donc
P P
tous les coe
cients de X sont nuls.
ϕ est dé
nie.
Proposition. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si E est un préhilbertien alors
√
: √
∀(x, y) ∈ E 2 , |< x, y >|≤ < x, x >. < y, y > avec égalité si et seulement si
(abrégé ssi) (x , y) sont liés.
Démonstration. Soit (x , y) ∈ E 2 et λ ∈ R.
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x + λ.y > +λ. < y, x + λ.y >
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x > +λ. < x , y > +λ2 . < y, y > +λ. < y, x >
< x + λ.y, x + λ.y >=< x , x > +2 .λ. < x , y > +λ2 . < y, y >
On reconnaît un polynôme du second dégré en λ .
4 = 4. < x, y >2 −4. < x, x > . < y, y >≤ 0 car le polynôme est postif ou nul
donc le discriminant √est négatif.√
donc |< x , y >|≤ < x , x >. < y, y >
Si (x , y) sont liés, ∃µ ∈ R, y = µ.x
|< x , µ.y >|=| µ | . < x , x >
√ √ √ p
< x , x >. < y, y > = < x , x >. µ2 . < x , x > =| µ | . < x, x >
√ √
donc |< x , µ.y >|= < x , x >.√ < y, y > √
Réciproquement, si < x , y >= < x , x >. < y, y > alors 4 = 0 donc λ0 est une
racine double.
< x + λ0 .y, x + λ0 .y >= 0 (par la propriété du produit scalaire dé
nie).
x + λ0 .y = 0 donc (x , y)sont liés.
2. Normes
Dé
nition. Soit E un ev (espace vectoriel). Une norme sur E est une application
N de E dans R telle que :
∀x ∈ E, N (x) ≥ 0
N (x ) = 0 ⇐⇒ x = 0
N (λ.x ) =| λ | N (x )
N (x + y) ≤ N (x ) + N (y)
N (x ) est souvent noté kx k.
Proposition. Soit k k une norme sur E. Alors :
∀(x, y) ∈ E 2 , | kxk − kyk |≤ kx − yk ≤ kxk + kyk
