Samenvatting van het vak 'Wiskunde voor bedrijfswetenschappen B' gegeven door Professor Dirk Janssens, Faye Caluwé en Hendrik-Jan Van Damme voor het schakeljaar Handelswetenschappen aan KULeuven Antwerpen. Dit vak loopt gelijk met de wiskunde voor eerste bachelorjaar in Handelswetenschappen. Deze ...
Wiskunde B
Schakeljaar Handelswetenschappen – KU Leuven, campus Antwerpen
,Inhoudstafel
1 H11: Functies met 2 variabelen ......................................................................................5
1.1 Niveaukrommen .....................................................................................................5
1.2 Algemene functies..................................................................................................5
2 H12: Partiële afgeleiden ...............................................................................................13
2.1 PA met 1e orde .....................................................................................................13
2.1.1. Benadering voor partiële afgeleide NAAR X ................................................15
2.1.2. Benadering voor partiële afgeleide NAAR Y ................................................15
2.2 PA met hogere orde .............................................................................................16
2.3 Differentiaal van een functie met 2 variabelen .....................................................18
2.3.1. Raakvlakbenadering (functie F van 2 variabelen) ........................................18
2.4 Richtingsafgeleide en gradiënt van een functie in twee variabelen .....................20
2.4.1. 𝒖: richtingsvector (andere notatie: 𝒖) ...........................................................20
2.4.2. Richtingsafgeleide (= rico van de raaklijn) ...................................................20
2.4.3. Gradiënt (= Richtingsvector) ........................................................................21
2.4.4. Oefeningen op richtingsafgeleide en gradiënt van een functie in twee
variabelen .....................................................................................................................22
2.5 Kettingregels ........................................................................................................25
2.5.1. Bijzonder geval (belangrijk voor 2.6) ............................................................25
2.5.2. Oefeningen op kettingregels ........................................................................26
2.6 Impliciete differentiatie .........................................................................................28
2.6.1. Oefeningen impliciete differentiatie ..............................................................29
3 H13: Ongebonden extrema ..........................................................................................32
3.1 Extrema van een functie met 2 variabelen 𝑭(𝒙, 𝒚) ...............................................32
3.1.1. Intermezzo: Stelsels oplossen .....................................................................33
3.1.2. Oefeningen ongebonden extrema ................................................................34
3.1.3. Intermezzo: Extremum vraagstukken oplossen ...........................................37
4 H14: Gebonden extrema ..............................................................................................41
4.1.1. Oefeningen op gebonden extrema ...............................................................42
5 H15: Economische toepassingen .................................................................................49
5.1 Algemene methodes ............................................................................................49
5.1.1. ONGEBONDEN extrema .............................................................................49
5.1.2. GEBONDEN extrema ...................................................................................49
5.2 Prijsdiscriminatie en winstmaximalisatie ..............................................................49
5.2.1. Prijsdiscriminatie ..........................................................................................49
5.2.2. Winstmaximalisatie ......................................................................................49
, 5.3 Nutsfuncties en nutsmaximalisatie .......................................................................54
5.3.1. Nutsfunctie ...................................................................................................54
5.3.2. Alternatief via impliciete differentiatie ...........................................................54
5.3.3. Inkomen- consumptiekromme ......................................................................55
5.3.4. Elasticiteiten .................................................................................................55
5.4 Productiefuncties..................................................................................................65
5.4.1. Oefening op productiefunctie .......................................................................65
6 H10: Lineaire programmatie .........................................................................................67
6.1 Lineaire vraagstukken oplossen...........................................................................67
6.1.1. Tips om rechten te tekenen in het vlak ........................................................67
6.1.2. Voorbeeld (Wiskundig model & grafische oplossing) ...................................68
6.2 Oplossing via Lagrangefunctie .............................................................................72
6.2.1. Stappen (kijk H14: Gebonden extrema) .......................................................72
6.2.2. Voorbeeld (oplossing via Lagrange functie) .................................................73
6.3 Geheeltallige oplossingen ....................................................................................75
6.3.1. Voorbeeld .....................................................................................................75
7 H9: Lineaire algebra (Matrices) ....................................................................................77
7.1 Definities: reëel matrices ......................................................................................77
7.1.1. Speciale matrices .........................................................................................77
7.1.2. Transponeren ...............................................................................................79
7.1.3. Symmetrische matrix ....................................................................................79
7.2 Bewerkingen met matrices ...................................................................................80
7.2.1. OPTELLING van matrices ............................................................................80
7.2.2. VERMENIGVULDIGEN van een matrix met reëel getal ..............................80
7.2.3. VERMENIGVULDIGEN met matrices ..........................................................81
7.2.4. Matrixnotatie van een stelsel ........................................................................82
7.3 Inverse van een vierkante matrix .........................................................................83
7.3.1. Gestructureerde oplossing (methode van Gauss-Jordan) ...........................83
7.3.2. Tegenvoorbeeld (inverse matrix bestaat niet, d.i. SINGULIERE MATRIX) ..84
7.3.3. Andere methode om 𝑨 − 𝟏 te berekenen (Belangrijkste methode!) .............84
7.3.4. Oefening op inverse matrix ..........................................................................85
7.4 Input-out modellen ...............................................................................................86
7.4.1. Inleidend voorbeeld ......................................................................................86
7.4.2. CONSUMPTIEVECTOR: Output – Input .....................................................87
7.4.3. Omgekeerd: Output bepalen uit Consumptie ...............................................87
7.4.4. Productieve Input-Output modellen (BELANGRIJK) ....................................88
7.4.5. Overzicht termen ..........................................................................................91
, 7.4.6. Formules ......................................................................................................91
7.4.7. Oefeningen op Input-output modellen ..........................................................92
7.5 Eigenwaarden en -vectoren: lineaire afbeeldingen ..............................................96
7.5.1. Lineaire afbeeldingen in het vlak ..................................................................96
7.5.2. De vorming van de matrix A van een lineaire afbeelding .............................96
7.5.3. Bepalen van EIGENWAARDEN ...................................................................97
7.5.1. Bepalen van EIGENVECTOR ......................................................................97
7.6 Diagonalisatie van (sommige) vierkante matrices................................................99
7.6.1. Coördinatentransformatie en matrix van lineaire afbeelding ........................99
7.6.2. Oefening op diagonalisatie ...........................................................................99
7.6.3. Oefening op bepalen van orthonormale basis ...........................................101
7.6.4. Oefening op oplossen van stelsel recursievergelijking ..............................103
8 H8: Differentiaal- en differentievergelijkingen .............................................................105
8.1 Differentievergelijking/Recursievergelijking........................................................105
8.1.1. Differentievergelijking oplossen .................................................................105
8.1.2. Oefeningen op recursievergelijkingen ........................................................106
9 Examen info + Examen aj 2020..................................................................................117
, 1 H11: Functies met 2 variabelen
1.1 Niveaukrommen
IDEE: 3D-functie omzetten naar 2D
ð Algemene vergelijking van een niveaukromme is: F(x, y) = c
ð Stelt de functie gelijk aan een c-waarde en je kan de niveaukrommen tekenen
ð Stijgend niveau aanduiden?
o Als c stijgt, naar waar verplaatsen de niveaukrommen zich dan?
o Duid dit aan met pijlen
1.2 Algemene functies
• 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 => Rechte met rico a, snijpunt met de y-as b
5
A.V.L.
, • 𝒚 = (−)𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 => (a > 0 DALPARABOOL of a < 0
BERGPARABOOL)
ð Bergparabool (linkse grafiek): a < 0 (negatief getal)
ð Dalparabool (rechtse grafiek): a > 0 (positief getal)
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 0, 1, 2 ...)
2. Vorm de formule om naar y
o c = Snijpunt y = ...
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
6
A.V.L.
, • 𝒙 = 𝒂𝒚𝟐 + 𝒃𝒚 + 𝒄 => INVERSE PARABOOL (Draai x en y om) b = 0
ð Holte naar links (rechtse grafiek): a > 0 (positief getal)
ð Holte naar rechts (linkse grafiek): a < 0 (negatief getal)
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 0, 1, 2 ...)
2. Vorm de formule om naar x
o c = Snijpunt x = ...
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
7
A.V.L.
, • 𝑹𝟐 = (𝒙 − 𝒙𝑴 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝑴 )𝟐 => CIRKEL: M (𝒙𝑴 , 𝒚𝑴 ) en straal R
• 𝑹𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
1. Kijk naar middelpunt (xm en ym) => Zet stip
a. In vb: (x – (-1)) + (y – 2) => x = 1 en y = -2
2. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 1, 4 en 9)
DUS c = 𝑹𝟐
o 𝑹 = √𝒄 => Dit is dan de straal
3. Teken de grafiek
4. Duid stijgend niveau aan
8
A.V.L.
, • 𝒚 = 𝟏-𝒙 => HYPERBOOL!
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: c >= 0 en c =< 0)
2. Vorm de formule om naar y
3. Teken de grafiek
o Vul willekeurige x’en in om y’en te bekomen => teken deze lijnen
4. Duid stijgend niveau aan
9
A.V.L.
, 𝟐 𝒚 𝟐
• /𝒙-𝑨1 + 2 -𝑩4 = 𝟏 => ELLIPS met assen 2*A en 2*B
1. F(x, y) = c => Kies zelf welke c’s je wil gebruiken (dit geval: 1, 4 en 9)
(Uitleg van toepassing op c = 4)
2. Formule omvormen in => 1 = ... Dus / 4
o Noemer: 𝑨 . √𝟒 en 𝑩 . √𝟒
3. Vervolgens 2 * A en 2 * B
o Horizontale as 8 (= 2 * 4)
§ = Breedte dus van -6 tot 6 op x-as
o Verticale as 20 (= 2 * 10)
§ = Hoogte dus van -15 tot 15 op y-as
4. Teken de grafiek
o Vul willekeurige x’en in om y’en te bekomen => teken deze lijnen
5. Duid stijgend niveau aan
10
A.V.L.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller arnovln. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $9.10. You're not tied to anything after your purchase.
