Document bestaat uit 2 delen
1. Differentiaalvergelijkingen
--> alle methodes hoe je een dv moet oplossen
- Exacte DV
- lineiare DV
-Onvolledige DV
- Schaalinvariant
- homogene
- ...
2. Rijen en reeksen
BEWIJZEN OVERZICHT
1) Bewijs door volledige inductie
2) Algemene term van een reeks
3) Divergentiekenmerk
4) Majorante reeks
5) Positieve reeksen: het integraalkenmerk
6) Positieve reeksen: convergentie van hyper harmonische reeks
7) Kenmerk van d'Alembert
8) Kenmerk van Cauchy
9) Absolute convergentiekenmerk
10) Kenmerk van Leibniz
11) Het uitgebreide kenmerk van D’almbert
12) Stelling van Taylor
HOOFDSTUK 21: DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Algemene begrippen
I. Algemene DV van orde n
II. Algemene oplossing van DV van orde n (O.A.)
III. Particuliere oplossing
IV. Singuliere oplossing
V. Begin en randvoorwaarde
DV van de 1ste orde: oplossen
I. Scheiding van veranderlijke
!"
o Vervang 𝑦’ → !#
o Zorg ervoor dat je x en y kan scheiden
o Integreren
o AO is van de vorm: y = …
II. Schaalinvariant
→ zeer specifieke vorm
𝑦’ = 𝑔(𝑥, 𝑦) ⇒ waarbij 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
o Oplossen
"
Nieuwe functie: 𝑢 = # ⇒ 𝑦 = 𝑢 ∗ 𝑥
Dan is 𝑦 $ = 𝑢 + 𝑢$ ∗ 𝑥
→ In de DV invullen
→ je gaat kunnen vereenvoudigen
o Indien u’ weg is (dus geïntegreerd)
"
→ u vervangen door #
→ oplossen naar y
III. Lineaire DV
→ vorm: 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐵(𝑥)
o Speciale gevallen
→ A en B constant ⇒ 𝑦 $ + 𝐶% 𝑦 = 𝐶& (oplossen met SVV)
→ A = 0 ⇒ 𝑦 $ = 𝐵(𝑥) (gewoon integreren)
→ B = 0 ⇒ 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 0 → HLDV
Kies u zodat: 𝑢$ ∙ 𝐴(𝑥)𝑢 = 0 (met SVV) (we zoeken 1 oplossing)
Dan (*) ⇒ 0 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥)
⇒ 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) → oplossen
Zo functie v berekenen
Op het einde
𝑦 =𝑢∙𝑣
→ u en v invullen
→ dan zo y bepalen
→ niet vergeten bij v wel rekening houden met C
IV. Exacte DV
o Vorm: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
o Checken of het exact is
→ Is exact als 𝑃′(𝑥, 𝑦) = 𝑄′(𝑥, 𝑦) (eerst checken)
→ wat bij dx staat afleiden naar y
→ wat bij dy staat afleiden naar x
o Zoek een super primitieve (F)(1tje is genoeg)
→ voor een zeker F geldt:
𝐹#$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹"$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝐹#$ (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐹"$ (𝑥, 𝑦) = 𝑄(𝑥, 𝑦)
→ P integreren naar x (dus y is constant)
→ integrant met een constante in functie van y achteraan
→ de geïntegreerde P terug afleiden naar y
→ gelijk stellen aan Q
→ en 𝑐(𝑦) bepalen
→ in de geïntegreerde P → 𝑐(𝑦) invullen
o Dan totale differentiaal berekenen
𝑑<∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦)> = 0
integreren
⇒ ∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Jaco0207. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $10.71. You're not tied to anything after your purchase.
