Summary
Samenvatting Wiskunde
- Course
- Institution
Samenvatting van ppt en cursus + veel formulariums
[Show more]
1 review
By: charlotteroose • 2 year ago
Seller
Follow
mltmdk
Reviews received
Content preview
Wiskunde1. Reële functies
1.1. Basisbegrippen
1.1.1. Functie en functievoorschrift
Definitie:
Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y, zodat
met ieder element x ∈ X juist één element y ∈ Y gekoppeld.
Notaties:
• Functie f: X -> Y
- X: definitiegebied def(f)
- Y: beeld im(f)
• Functievoorschrift y = f(x)
- x: argumennt
- y: functiewaarde in punt x
• Reële functie f: X = def(f) ∈ ℝ
Y = ℝ, im(f) ∈ ℝ
1.1.2. Definitiegebied en beeld
Definitie
Gegeven een functie f:X -> Y, dan is
• Verzameling X van x-waarden: het definitiegebied van f,
genoteerd als def(f)
• Verzameling Y waarin y waarden aanneemt: het codomein van f
• Deelverzameling van Y die bestaat uit de beelden v.d. elementen
van X: het beeld van f, genoteerd als im(f)
1.1.3. Grafische voorstelling
Orthogonaal assenstelsel: x-as ⊥ y-as
y = f(x) → punten met coördinaten: (x,y) = (x, f(x))
, 1.1.4. Stijgen en dalen
Functie f gedefinieerd in interval l:
f stijgend: grotere x-waarden afgebeeld op grotere y-waarden
f dalend: grotere x-waarden afgebeeld op kleinere y-waarden
f stijgend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≤ f(x2)
f dalend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≥ f(x2)
f strikt stijgend als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) < f(x2)
f strikt dalend als ∀ x1<x2 in l gelft: f(x1) > f(x2)
Definitie:
Een functie wordt (strikt) stijgend/dalend genoemd indien ze
stijgend/dalend is in gans het definitiegebied.
1.1.5. Bijzondere punten
Nulpunt
Een nulpunt v.e functie f is een punt x0 ∈ def(f) waarvoor geldt dat f(x0)=0
Oplossen door f(x)=0
Globaal extrema
Een functie f bereikt een globaal maximum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≥ f(x).
Een functie f bereikt een globaal minimum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≤ f(x).
Oplossen door f’(x)=0
Lokaal extrema
Een functie f bereikt een lokaal maximum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≥ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Een functie f bereikt een lokaal minimum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≤ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Oplossen door f’’(x)=0
,1.1.6. Even, oneven en periodieke functies
Een functie f wordt even genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = f(-x)
Een functie wordt oneven genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = -f(-x)
Grafiek is punt symmetrisch t.o.v. oorsprong
f(0)=0
Bestaat er een vast getal 𝜔 ∈ ℝ, zodanig dat ∀ x ∈ def(f) waarvoor ook
x+ 𝜔 ∈ def(f), geldt dat:
f(x+ 𝜔) = f(x)
Dan heet de functie f periodiek met periode 𝜔.
Grafisch: functiekromme herhaalt na elk interval met breedte 𝜔
Grafiek met periode 𝜔: door f te tekenen in interval [x0,x0+ 𝜔]
1.1.7. Inverse van een functie
De inverse relatie v.e. functie f, genoteerd als f-1, is gedefinieerd door:
(x0,y0) ∈ f-1 als en slechts als (x0,y0)
Inverse relatie niet altijd functie!
Als ∀ x1 ≠ x2 dan geldt dat f(x1) ≠ f(x2), dan is f-1 functie
Grafiek f en f-1 symmetrisch
Def(f-1) = im(f)
1. Inverse v.e. lineaire functie = lineaire functie
f(x) = ax + b a≠0
y = f-1(x)
x = f(y)
x = ay + b
1 𝑏
y = 𝑎x – 𝑎
, 2. Inverse v.e. kwadratische functie ≠ functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥 of y = -√𝑥
3. Inverse v.e. kwadratische functie met beperkt def.gebied = functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2, x≥0 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥
1.2. Veeltermfuncties
Een veeltermfunctie is een f van de vorm…
y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0, an ≠ 0
…waarbij de graad n v.d. veeltermfunctie 𝜖 ℕ, de coëfficiënten a0, a1,…,an
𝜖 ℝ en def(f) = ℝ.
Constante functie: n=0 dus graad 0 → y = a0
Elke x-waarde dezelfde y-waarde
Rechte door (0,a0) \\ x-as
Geen nulpunten
Lineaire functie: n=1 dus graad 1 → y = a1x + a0
a1 ≠ 0
Rechte met 1 nulpunt
Snijpunten met assen (-a0/a1, 0) en (0,a0)
Kwadratische functie: n=2 dus graad 2 → y = a2x2 + a1x + a0
a2 ≠ 0
parabool met 1,2 of geen nulpunten
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller mltmdk. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $11.76. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
82191 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now