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Sumario Primitivas e integrales definidas para alumnos pre universitarios y sus propiedades

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Course
Mathematics and science

Institution
Bachillerato

Book
Calculus

Es un documento que explica perfectamente las primitivas, integrales definidas, sus conceptos y como calcularlas.

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Uploaded on June 2, 2021
Number of pages 11
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Type Summary

primitivas
integrales definidas
regla de barrow
teorema valor medio
area bajo la grafica
teorema fundamental del calculo
condiciones de integrabilidad

Book Title:Calculus

Author(s):Michael Spivak

Edition:2006
ISBN:9780521867443
Edition:3

Institution Secondary school
Education Bachillerato
Course
Mathematics and science
School year 5

$6.45

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Integral Definida:

Introducción, ubicación histórica, objetivo y método de cálculo.

Se llama integral definida de la función f(x)>0, entre a y b, al área de la porción del plano
limitada por la grafica, el eje x y las rectas x=a, y x=b. Representa el área limitada por la
gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la
función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos. Fue usado
por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried
Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el
teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son
procesos inversos. La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa
1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para
calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada
capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que
trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas
para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más
adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación
al área del círculo.
Particiones, Norma de Partición y Refinamiento de una Partición:
Partición: una partición P de un intervalo cerrado [a, b] a toda colección finita de puntos {to,
t1, t2, …, tn} tal que: a = to < t1 < t2 < … < tn-1 < tn = b
Norma de Particion: es la diferencia maxima entre cualesquiera de dos puntos consecutivos
de la partición y se denota por ||P||: max { tj < tj-1 , j=1 … n}
Afinamiento de una partición P: a partir de una partición P de [a,b] se toma la particion Q,
con Q⊂P, el cual es un afinamiento de la partición P.
Suma Superior e Inferior: sea f(x) continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b). Por teorema Weierstrass 1,
f(x) alcanza su máximo: M, y su mínimo m, en el intervalo [a,b]. Por lo tanto, si tomamos la
base como b-a, y la altura como M, el resultado va a ser la Suma Superior máxima (por
exceso) de la integral f(x) en a,b. Mientras que si
tomamos la misma base y lo multiplicamos por el
mínimo m, obtendremos el mínimo de Suma Inferior.
Por lo tanto: mínimo Suma Inferior≤Suma
Inferior≤Integral≤Suma Superior≤máximo Suma
Superior. Tal que m(b-a)≤t≤Integral≤S≤M(b-a),
siendo t la suma inferior, y S la suma Superior.
Sea P, la partición de [a,b], tal que: a = to < t1 < t2 <
… < tn-1 < tn = b. Por lo tanto, sea

S=suma superior= ∑Mi(xi-xi-1)
t=suma inferior=∑mi(xi-xi-1), siendo M y m el
máximo y mínimo respectivamente de f(x) en cada intervalo. Entonces: t≤f(x)≤S.
● Sea Q, una partición de P, tal que Q⊂P. A medida que disminuye el Δx de cada
subintervalo de P, la función se refina en intervalos más chicos Q, por lo tanto, la

, suma inferior se aproxima cada vez más a la función aumentando, mientras que la
suma superior disminuye aproximándose a la grafica. Esto concluye en:
t(f,P)≤t(fQ)≤F(X)≤S(fQ)≤S(fP) con Q⊂P.
Demostración:
Si Q es un renamiento de P, entonces
a) S(f, Q) ≥ S(f, P) y b) S(f, Q) ≤ S(f, P)
Demostración. Supongamos que Q es un renamiento de una partición P de [a, b].
Entonces Q contiene todos los puntos de P, y algunos mas. Vamos a considerar el caso
donde Q contiene solo un punto mas que P. Dicho punto lo denotaremos x
∗k ∈ [xk−1, xk]. De esta forma Q = {x0, x1, · · · , xk−1, x∗k, xk, · · · , xn}
por tanto tenemos que por a), la sumatoria inferior

Para el refinamiento de la sumatoria superior, la demostración es análoga. Como todo
refinamiento Q de una Partición P, es menor para la suma superior y mayor para la
suma inferior, demostrado anteriormente, se cumple el Teorema:
t(f,P)≤t(fQ)≤F(X)≤S(fQ)≤S(fP)

● Toda suma superior esta acotada inferiormente en cada subintervalo por la suma
inferior., y viceversa. Por lo tanto, existe el ínfimo de la sumas superior (inf de S), y
existe el supremo de las sumas inferiores (sup de t), en cada subintervalo [xi-1,xi] /
t≤sup t≤inf S≤S.
Definimos la Integral Superior como

Definimos la Integral Inferior como

Estas integrales existen, tienen valores y están acotadas tal que:

Se dice que una función continua es integrable si

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