Alomvattend formularium statistiek voor psychologen deel 2 (grote slaagkans)
70 views 0 purchase
Course
Statistiek Voor Psychologen II
Institution
Katholieke Universiteit Leuven (KU Leuven)
Alomvattend formularium met grote slaagkans gebaseerd op de leerstof van het vak 'Statistiek voor psychologen deel 2'. Het formularium bevat alle leerstof (gecheckt op fouten), uitgewerkte oefeningen (kunnen handig zijn als basis voor de oefeningen op het examen!!) en tips ter controle zodat je op...
H2: Statistische modellering 1.1.3. Voor meerdere VA: (bivariate geg) 3.2.1.2. Relatieve goodness of fit Vb 2: absolute goodness of fit
= bepalen vd gezamenlijke kansmassa- of dichth.f = afwegen v relat houdbaarheid v 2 mod tov mekaar
Als T de Pearson-X²stat gebaseerd is op n
JA: Bin (n, 𝜃)
1a) Max likelih schat vd onb parameters uit onafhankelijke observ v ≥ 1 TV waarvan
# successen Max # successen?
NEE: Poisson (𝜆) 1) Algemeen (zelfde vr 𝜑𝑋,𝑌 ): 𝝅𝑿,𝒀 (𝒙, 𝒚) =
𝔐0 (bv 𝜇𝑋 = 𝑥 en 𝜎𝑋 = 𝑠𝑥 ) het gezamenlijk waardenber is opgedeeld
𝝅𝑿|𝒀=𝒚 (𝒙). 𝝅𝒀 (𝒚) = 𝝅𝒀|𝑿=𝒙 (𝒚). 𝝅𝑿 (𝒙) 1b) 𝐿𝔐0 v geg onder 𝔐0 met param= pm uit 1a in I categ en als ∀𝑖: 𝐸𝑖 > 0, (>5!!) dan is:
Discreet: Geo (𝜃) Bv biv norm 2a) 1a mr nu vr meer algemeen mod 𝔐1 𝐥𝐢𝐦 𝝋𝑻 = 𝝋𝝌𝟐
𝒏→∞ (𝒅𝒇=𝑰−𝟏−𝒌)
Wachttijd discreet of
Wachttijd tot 1ste succes
continu
Continu: Expon ( 𝜆) ( not:(𝑋, 𝑌)~𝑁(𝜇1 , 𝜇2 , 𝜎12 , 𝜎22 , 𝜌): 𝜑𝑋,𝑌 (𝑋, 𝑌) = 2b) 1b mr nu vr meer algemeen mod 𝔐1 k= # modelparam die vanuit geg
𝟐 𝒚−𝝁𝟐 𝟐 𝟐𝝆(𝒙−𝝁𝟏 )(𝒚−𝝁𝟐) 3) stat likelihood ratio: LR= 𝑳𝕸𝟎 /𝑳𝕸𝟏 (≤ 1!) geschat werd om 𝐸𝑖 te berekenen
1.1. Eenvoudige modellen 𝟏 −
𝟏
𝟐 [(
𝒙−𝝁𝟏
) +( ) − ]
𝒆 𝟐(𝟏−𝝆 ) 𝝈𝟏 𝝈𝟐 𝝈𝟏 𝝈𝟐
<1: andere mod in 𝔐1 passen beter bij geg dan 𝔐0 = asymptotisch Chi-kwadr verdeeld met
𝟐𝝅𝝈𝟏 𝝈𝟐 (𝟏 − 𝝆𝟐 )
1.1.1. Voor 1 DISCRETE VA (kansmassaf) =1 geen winst bij uitbreiding nr 𝔐1 I-1-k vrijheidsgraden
1. Bernoulli-model (X~Bern(𝜽)) 2) Indien X en Y = stat onafh (zelfde vr 𝜑𝑋,𝑌 ) : 4) stat: -2ln(LR) -> n= groot en 𝐸𝑖 ≥ 5
= TE met 2 mogelijke uitkomsten (0 of 1); 𝝅𝑿,𝒀 (𝒙, 𝒚) = 𝝅𝑿 (𝒙). 𝝅𝒀 (𝒚) -> ln(1)=0 => -2ln(LR) ≈ 0 (geen winst bij 𝔐 ) Nagaan of X² abnorm hoog is? P(X²≥ 𝒙²)
1
Toenemend # df: benaderd meer norm verd
𝜃 = 𝑃(𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠) Bv bivariaat normaal verdeeld: -> 0<x<1: ln(x)<0 => -2ln(LR) >> 0 (wel winst)
Vb3: Relatieve goodness of fit
In 1 exp: X~Bern(θ) met 0< 𝜃 < 1 als: 1 𝑥−𝜇1 2 𝑦−𝜇2 2
Specifieke toetsstatistieken (T) Als rel fit v 2 geneste fam v mod 𝔐0 ⊂
− [( ) +( ) ] 1
𝝅𝑿 (𝟏) = 𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝜽 𝜑𝑋,𝑌 (𝑋, 𝑌) = 𝑒 2 𝜎1 𝜎2 = toetsen specifiek aspect v model (in principe 𝔐1 willen afwegen waarbij
𝝅𝑿 (𝟎) = 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟏 − 𝜽 2𝜋𝜎1 𝜎2 gelijk wat als T bv prop mislukkingen na misl) 𝔐1 als parameters (𝜃1,…𝜃𝑘 ) heeft en 𝔐0
𝝁𝑿 = 𝜽 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝑿 = 𝜽(𝟏 − 𝜽) -> alles kan uitgebreid w tot VA>2 (multivartiate stat mod) Standaardstatistieken => zie TB! bekomen w dr r parameters v 𝔐1 vast te
n herh v Bern exp (n TV Xi ): X~𝑖𝑖𝑑 𝐵𝑒𝑟𝑛 (𝜃): 1.2. Complexe modellen -> Bivariate geg: toets dat 𝜌𝑥𝑦 = 𝑎
leggen (dwz 𝜃1 = 𝑐1, . . ) dan geldt dat, als
1) Xi ’s allemaal ~Bern(θ) met zelfde waarde vr 𝜃 1. Mengselmodellen
𝔐0 waar is:
(stationariteit) = meerdere deelgroepen waarbij we vr geen enkele ppn weten 𝐥𝐢𝐦 𝝋−𝟐𝒍𝒏(𝑳𝑹) = 𝐥𝐢𝐦 𝝋 𝑳 𝔐 =𝝋 𝟐
2) Alle Xi ’s mutueel stat onafhankelijk tot welke deelgroep die behoort! 𝒏→∞ 𝒏→∞ 0
−𝟐𝒍𝒏(𝑳𝝌 ) (𝒅𝒇=𝒓)
𝔐1
2. Binomiaal-model (Y~Bin(n,𝜽)) Elke deelgr krijgt gewicht afh v grootte (onbekend: 𝜆). H4: Steekproefverdeling (SV) v statistieken -> -2ln(LR) = asymptotisch Chi-kwadr verd
Y = totaal # successen in reeks n herh Bern exp Proporties vd 2 deelgr: (𝝀′ + 𝝀 = 𝟏) = 𝜋 𝑜𝑓 𝜑 van statisiek (geg steekproefgrootte n) 4.1.3. Simulatiemethode (param bootstrap)
Bereik v Y: {0,1,2, … 𝑛} (bv familie v norm mod = deelfamilie v mengselmod v Vaak nodig om statistisch model te postuleren vr TV X = trekken v SP uit modellen na bootsen
Y~Bin(n,𝜃) met n ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1; 𝜃 ∈ ]0,1[ als: 2 norm verd deelgr) bv X~𝝀𝑁(𝜇1 , 𝜎12 )+(1- 𝝀)𝑁(𝜇2 , 𝜎22 ) SD v SV = standaardfout 1) trekken v SP met omvang n bv
𝒏 (𝟏) (𝟐)
𝝅𝒀 (𝒌) = 𝑷(𝒀 = 𝒌) = ( ) 𝜽𝒌 (𝟏 − 𝜽)𝒏−𝒌 1) Algemeen: 𝝅𝑿 = 𝝀𝝅𝑿 + (𝟏 − 𝝀)𝝅𝑿 4.1. Methoden X~Bern(0.70) -> RAND (0 =
𝒌
𝝁𝒀 = 𝒏𝜽 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒀 = 𝒏(𝜽)(𝟏 − 𝜽) 2) Meer dan 2 componentmodellen: 4.1.1. Enumeratieve methode (exact!) getallen tss 0 en 0,30 en 1= 0.30-1)
(𝟏) (𝟐) (𝟑)
! Bern(𝜃) = 𝐵𝑖𝑛(1, 𝜃) 𝝅𝑿 = 𝝀𝟏 𝝅𝑿 + 𝝀𝟐 𝝅𝑿 + (𝟏 − 𝝀𝟏 − 𝝀𝟐 )𝝅𝑿 = alle mogelijke SV v omvang n noteren en dan 2) simuleren v steekproefverdeling v
𝜋functie vr proportie Y/n (n herh v Bern exp): 3) Multivariaat: 𝝋𝑿,𝒀 = 𝝀𝟏 𝝋𝑿,𝒀 (𝟏) + 𝝀𝟐 𝝋𝑿,𝒀(𝟐) + 𝜋functie vd statistiek T te bepalen (= SV v T) stat-> vr groot # gesimul SP waarde
𝒀 𝟏 𝟏 𝜽(𝟏−𝜽) (𝟏 − 𝝀𝟏 −𝝀𝟐 )𝝋𝑿,𝒀 (𝟑) v stat berekenen -> propfunc v
𝝁𝒀 = 𝚬 [ ] = 𝚬[𝒀] = 𝜽 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒀 = 𝝈𝟐𝒀 = => methode gaat alleen als grootte v
𝒏 𝒏 𝒏 𝒏
𝒏² 𝒏
2. Regressiemodellen onderzochte pop (N) en die v stat-waarden berekenen
(sd in %)
Yi’s stat onafh mr niet identiek verdeeld; Yi= mate v.. Opm: als param onbekend -> 1st schatten
3. Geometrisch model (Z~Geo(𝜽)) bestudeerde sp (n) klein zijn Bv X~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(4): kijken in TB nr πX -> ΦX
𝜷𝟏 = effect/wat gebeurt met Y als x 1eh toeneemt
= # beurten tot 1ste succes; 𝜃 = 𝑃(𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠), Z= LET OP: met/zonder terugleggen (ZTW = met)
(gevoeligheid vr x) 4.2. Vben v SPverdeling
volgnr vd dag vh 1ste succes 𝜷𝟎 = gemiddelde Y bij x=0 (basisniveau v Y) ongeordend of geordend Zie TB p1-4
Z~Geo(θ) met 0< 𝜃 < 1 als:
𝝅𝒁 (𝒌) = 𝑷(𝒁 = 𝒌) = (𝟏 − 𝜽)𝒌−𝟏 𝜽 (k=1,2,3,…)
𝝈= in welke mate Y fluctueert tgv toevalsfactoren (los v x) p1= 𝑋̅ (aannames maken vr SP!)
𝟐
𝟏 𝒚−(𝜷𝟎 +𝜷𝟏 𝒙𝒋 )
𝟏 (𝟏 − 𝜽) 𝟏 − 𝟐( ) p2 = 2 SP bv mannen en vrouwen
𝝁𝒁 = 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒁 = 1) Enkelvoudig: 𝝋𝒀|𝑿=𝒙𝒋 (𝒚) = 𝒆 𝝈
𝜽 𝜽² √𝟐𝝅𝝈 (meestal verondersteld dat Xi=iid en Yi =iid)
ste
stel: W= aantal dagen VR 1 /duur: = (1 − 𝜃)𝑘 𝜃
OF 𝐘|𝑿=𝒙𝒋 ~𝑵(𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙𝒋 , 𝝈² ) -> afh is geval waarin nX = nY =n en de elem
4. Poisson-model (X~𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏(𝝀)) 4.1.2. Deductieve methode (adhv wiskundige afleiding) vd 2SP paarsgewijs geassocieerd zijn & knn
= # successen in een bep interval/tijdspanne OF 𝒀𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙𝒊 + 𝑬𝒊 𝒎𝒆𝒕 𝑬𝒊 ~𝒊𝒊𝒅𝑵(𝟎, 𝝈² )
4.1.2.1. Exacte beschrijving v de gezochte SV paarsgewijs afh zijn (dwz X1 is geass met Y1,…)
𝜆 = verw # succ. in 1 eenheid v tijd/ruimte (= n𝜃) 2) Meervoudig: 𝒀𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙𝟏𝒊 + 𝜷𝟐 𝒙𝟐𝒊 + p3 = 𝑆𝑋2 (SPverd v functie v deze stat)
X~Poisson(λ) met λ > 0 als: 1) Stel dat 𝑋 = het SPgemiddelde ve SP
𝑬𝒊 𝒎𝒆𝒕 𝑬𝒊 ~𝒊𝒊𝒅 𝑵(𝟎, 𝝈𝟐 ) 𝒏𝑺𝟐 𝒏𝒂
𝒌
𝝀 −𝝀 met omvang n, op ZTW (MTL), dan: 𝚽 𝑺𝟐𝑿 (𝒂) = 𝑷( 𝑺𝟐𝑿 ≤ 𝒂) = 𝑷 ( 𝟐𝑿 ≤ 𝟐 )
-
𝝅𝑿 (𝒌) = 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝒆 𝝈 𝝈 𝒙 𝒙
𝒌! 3) Hiërarchisch: Individuele versch bv in frustr. gevoel.: 𝟐
𝝁𝑿 = 𝝀 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒙 =𝝀 𝟐)
̅ ] = 𝝁𝑿 en 𝝈𝟐 = 𝝈𝑿
𝚬[ 𝑿 p3=verhoud vd var ve meting in 2 onafh SP
𝒀𝒊𝒌 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝒌 𝒙𝒊 + 𝑬𝒊𝒌 𝒎𝒆𝒕 𝜷𝒊𝒌 ~𝑵(𝝁, 𝝉 𝑿 𝒏
Wnnr model gebruiken?
-> 2 types: hoog/laag frustr gev: -> ! stelling gaat op vr elke waarde v n en vr elke -> F-verdeling (TB)
1) voorkomen ve geb ie continu medium 𝜋 𝑜𝑓 𝜑 functie) p4 = functies v rXY -> Fisher-z transformatie (Fz)
𝜷𝒊𝒌 ~𝝀𝑵(𝝁𝟏 , 𝝉𝟐 ) + (𝟏 − 𝝀)𝑵(𝝁𝟐 , 𝝉𝟐 )
(tijd, ruimte,..) waarbij: !!stelling gaat ook op vr SPtrekking ZTL als N = ∞ -> zet r om ie grootheid tss -∞ en +∞ en
− voorkomen v geb in stukje medium = stat -> interactie:𝒀𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏 𝒙𝟏𝒊 + 𝜷𝟐 𝒙𝟐𝒊 + 𝜷𝟑 𝒙𝟏𝒊 𝒙𝟐𝒊 + 𝑬𝒊
onder bep vw norm verdeeld is (zie TB)
onafh v voorkomen v geb in elk ander, Vb: Yij = β0 + β1jxi + Eij met β1j = β0* + β1* wj + Ej* (Eij ∼ 2) Stel dat 𝑋 = het SPgemid ve SP met
-> trans = ordebewarend (bv r1<r2 dan FZ1<FZ2)
niet-overlappend stukje medium N(0, σ² ) en Ej*∼ N(0, τ ² )) β0*= basisniv v effect, β1* = omvang n, ZTL uit pop met omvang N en
− mate waarin geb binnen stukje medium invloed v .. op effect β1j elke mogelijke SP n even veel kans heeft H5: Parameterschatting
voorkomt proportioneel is met grootte v H3: Keuze v statistieken om getrokken te w, dan geldt: 5.1. Puntschatting
stukje medium (in bep tijdspanne 𝜆 keer, Bv max, Pc50, autocorr=𝑟𝑋𝑖 𝑋𝑖+1 (toetsen v afh) 𝟐 = 1 zo goed mogelijke waarde nr vr
in r* grotere tijdspanne = r* 𝝀) 3.1. Keuze v schatters ̅ ] = 𝝁𝑿 en 𝝈𝟐 = 𝝈𝑿 . (𝑵−𝒏)
𝚬[ 𝑿 schuiven vr de te schatten parameter
𝑿 𝒏 𝑵−𝟏
2) als benadering v Bin(n,𝜃) met n zeer Stat met doel schatten parameter = schatter (𝜃̂ ) Kwaliteitscriteria vd schatter:
𝝈𝟐𝑿
groot en 𝜃 zeer klein 3.1.1.Analogiemethode -> als N zeer groot is tov n: 𝝈𝟐𝑿 ≈ 1) Schatter levert gemid genomen (over
= model param schatten dr equivalent te zoeken op 𝒏
1.1.2. Voor 1 CONTINUE VA alle SP met grootte n) juiste schatter op:
SPniveau bv 𝑋 is analoge schat vr 𝜇𝑋 : 3) volledige verdeling: 𝑋~𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ) dan:
-> dichheidsf (geen kansen, opp = kans) 𝝈𝟐𝑿 a) Punschatter 𝜽 ̂ 𝒗 𝜽 heet zuiver als
1. Uniform model (X~𝑼(𝒂, 𝒃)) 𝜇𝑋 = ∑ 𝑥𝑗 ∗ 𝜋¨𝑥𝑗 → 𝑋 = ∑ 𝑥𝑗 ∗ 𝑝(𝑥𝑗 ) 𝑿 ~𝑵 (𝝁𝑿 , 𝒏
) ̂ ] = 𝜽 (bv Ε[ 𝑋̅] = 𝜇𝑋 en gn
𝚬[ 𝜽
= “op toeval getal tss a en b” zuiver: Ε[𝑆𝑋2𝑛 ] =
𝑛−1
𝜎𝑥2 )
(bv 𝑋 vr 𝜇𝑋 , 𝑆𝑋2 vr 𝜎𝑥2 , 𝑟𝑥𝑦 vr 𝜌𝑥𝑦 ) -> stelling geldt vr alle waarden v n
X~𝑈(𝑎, 𝑏) op [𝑎, 𝑏] met a,b ℝ en a<b als: 𝑛
𝟏 3.1.2. Kleinste kwadratenmethode -> geldt enkel altijd als X norm verd is. Bij ̂𝟏, 𝜽
b) Familie puntschatters v 𝜽, (𝜽 ̂ 𝟐 , … ),
𝝋𝑿 (𝑿) = {𝒃 − 𝒂 𝒗𝒐𝒐𝒓 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 = optim lineaire voorspelling uitvoeren op biv. SPgeg andere mod is 𝑋 enkel norm v als n groot is heet asymptotisch zuiver als
𝒔𝒚
𝟎 𝑨𝒏𝒅𝒆𝒓𝒔 𝒚𝒆𝒔𝒕
𝒊 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 𝒙𝒊 => 𝒃𝟏 = 𝒓𝒙𝒚 -> beperking: SV v 𝑋 hangt mee af v (meestal ̂𝒏 ] = 𝜽
𝐥𝐢𝐦 𝚬[𝜽
𝒂+𝒃 (𝒂 − 𝒃)² 𝒔𝒙
𝝁𝑿 = 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒙 = 𝒔𝒚 onbekende) 𝜎𝑋 𝒏→∞
𝟐 𝟏𝟐 𝒃𝟎 = 𝒚 ̅ − 𝒃𝟏 𝒙
̅=𝒚 ̅ − 𝒓𝒙𝒚 𝒙 ̅ (bv lim Ε[𝑆𝑋2𝑛 ] = lim (
𝑛−1
𝜎𝑥2 ) = 𝜎𝑋2 )
𝒔𝒙 4) beperking omzeilen: ipv 𝑋 Student-
Als X~𝑈(𝑎, 𝑏) 𝑒𝑛 [𝑐, 𝑑] ⊂ [𝑎, 𝑏] dan: P(c≤ ̂ ̂𝟏 = 𝒃𝟏 (= kleinste kwadratenschatters)
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛
𝒅−𝒄 𝜷𝟎 = 𝒃𝟎 , 𝜷 verdeling (als X~𝑁(𝜇, 𝜎² ); t-verdeling; 𝑇𝑋 ; 2) Gemid gezien niet te ver afwijken
𝑿 ≤ 𝒅) = => minimaliseren v gekwad st.fout v estimatie:
𝒃−𝒂 met n-1 vrijheidsgraden) gebruiken: vh doel: Gemid gekwadr fout:
2. Normaalmodel (X~𝑵(𝝁, 𝝈² )) 1
2
𝑠𝑦.𝑥 = ∑(𝑦𝑖𝑒𝑠𝑡 − 𝑦𝑖 )2 𝑿 − 𝝁𝑿
X~𝑁(𝜇, 𝜎² ) met 𝜇 𝑒𝑛 𝜎, 𝜎 > 0 als: 𝑛 𝑻 𝑿 =
𝑺′ 𝚬[(𝜽̂ − 𝜽)²] =𝝈𝟐̂ + (𝚬[𝜽
̂ ] − 𝜽)²
𝑖 𝑿 𝜽
𝟏 𝒙−𝝁 𝟐 3.1.3. Maximum likelihood methode √𝒏 2
𝝋𝑿 (𝒙) =
𝟏
𝒆
− ( )
x∈ ℝ (als Ε[𝜃̂ ]= 𝜃 dan: Ε[(𝜃̂ − 𝜃)²] =𝜎𝜃
̂)
𝟐 𝝈 L= na observatie, aannemelijkheid v obs (obs heeft -> df = ∞ => =standaardnormaalverdeling
√𝟐𝝅.𝝈 ̂ = zuivere schatter v 𝜽 met uniform
𝝁𝑿 = 𝝁 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝒙 = 𝝈² % kans om voor te komen) -> gebas op 𝜋/𝜑 4.1.2.2. Benaderende beschrijving (n= groot!!!) a) 𝜽
Standaardnormaalmodel: X~𝑁(0,1) 𝜆 ongekend? Waarde v 𝜆 waarvoor L(X=..|𝜆=?) Vb 1: Centrale limiet-stelling minimale variantie als voor alle
Als X~𝑁(𝜇, 𝜎² ) en Y=aX+b dan: het grootst is (bv stat onafh L(X=4 en X=2| 𝜆 = 2) = = stel dat vr elke waarde v n 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 iid TV zijn mogelijke waarden v 𝜽 geldt:
Y~𝑵(𝒂𝝁 + 𝒃, 𝒂²𝝈²)
𝜆4
𝑒 −𝜆
𝜆2
𝑒 −𝜆 ) met verwachte waarde 𝜇𝑋 en variantie 𝜎𝑥2 en (1) 𝜽̂ zuiver is
4! 2!
1 𝑋̅𝑛 − 𝜇𝑋
3. Exponentieel model (T~𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏(𝝀 ) Ln-likelihood: ln(L(…)) (bij kleine waarde v L) 𝑋̅ = ∑𝑖 𝑋𝑖 en 𝜁̅̅̅̅
𝑋𝑛 = 𝜎𝑋 dan geldt: (2) Vr elke andere zuivere schatter
𝑛
+
Tijdspanne v t (∈ ℝ ) teenheden; X = aantal binnen t
3.2. Keuze v toetsstatistieken √𝑛 ̂∗ v 𝜽 geldt:
𝜽
(𝝀𝒕)𝒌 3.2.1.Algemene goodness-of-fit 𝐥𝐢𝐦 𝝓𝜻̅̅̅̅ = 𝝓𝑵(𝟎,𝟏)
tijdsp: Xt~Poisson(λt) en P(Xt= k)= = 𝒆−𝝀𝒕 𝒏→∞ 𝑿 𝒏
𝚬[(𝜽̂ − 𝜽)²] ≤ 𝚬 [(𝜽 ̂ ∗ − 𝜽)²]
𝒌! 3.2.1.1. Absolute goodness of fit
T = # tijdseenheden tot succes (zelfde vw als Pois) Dus bij grote waarden v n (benaderend):
= 1 model op zich nagaan ̅ 𝑛− 𝜇 Bv als X~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆) -> 𝑋 =UMVUE vr λ
−𝝀𝒕 𝑋 𝑋 ̅ 𝒏 ~𝑵 (𝝁𝑿 , 𝝈²𝑿 )
~𝑁(0,1) en 𝑿
𝝋𝑻 (𝒕) = { 𝝀𝒆 𝒕≥𝟎 1) Partities v waardengeb (categorie I) 𝜻̅̅̅̅
𝑿 = 𝒏 𝜎𝑋
𝒏 3) Gemid gekwad fout neemt af als
𝟎 𝒕<𝟎 √𝑛
2) geobs freq (O𝑖 )
𝟏
!!! 𝝁𝑻 = 𝝀 𝒆𝒏 𝝈𝟐𝑻 = 𝝀𝟐
𝟏
=> 𝑋̅𝑛 = asymptotisch normaal verdeeld SPgrootte toeneemt
3) P= kans v X obv v model
t
T > t als X =0: 4) 𝐸𝑖 = verwachte frequentie = P.n
(geldt vr alle verdelingen v X) a) Familie puntschatters v 𝜽, (𝜽̂𝟏 , 𝜽̂𝟐 , … ),
𝚽𝑻 (𝒕) = 𝑷(𝑻 ≤ 𝒕) = 1 − 𝑃(𝑇 > 𝑡) (O𝑖 −𝐸𝑖 )²
Bv als X1,.., Xn~𝑖𝑖𝑑 𝐵𝑒𝑟𝑛 (𝜃), asymptotisch
5) 𝑋 2 = ∑𝐼𝑖=1 (Pears. Chi kwadr stat) (hoe geldt: 𝑋̅𝑛 ~𝑁 ( 𝜃,
𝜃(1−𝜃) heet consistent als
= 1 − 𝑃 (𝑋 𝑡 = 0) = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒕 !! 𝐸𝑖 𝑛
)
𝐥𝐢𝐦 𝚬[(𝜽̂ − 𝜽)²] = 𝟎
groter, hoe slechter) 𝒏
𝒏→∞
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller jolsch. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $12.52. You're not tied to anything after your purchase.
