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Exámenes de probabilidad
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Exámenes resueltos de probabilidad.
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alejandrocomesaaalmuia
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Sea {Xn }∞n=1 una sucesión de VA independientes e idénticamente distribuidas, con Xn ∼ exp(1) ∀n.
n
X
A partir de ella se construye el proceso estocástico Yn = n − Xk , con n = 1, 2, 3 . . .
k=1
Da respuesta justificada a los apartados siguientes:
a) Se dispone de una realización de Xn que comienza con {1.1, 1.8, 0.7, 0.1, 1.2 . . .}, escribe la realización co-
rrespondiente de Yn desde n = 1 hasta n = 5.
b) Determina la función de densidad de probabilidad de Y1 , indicando claramente su rango.
c) Halla E(Yn ).
d) Calcula Var(Yn ).
e) Obtén, siendo n < m, RY [n, m].
f) ¿Es el proceso Yn estacionario en sentido amplio?
Puntuación (sobre 10) de cada apartado: a–1, b–2, c–2, d–2, e–2, f–1
Apartado a
Xn , Yn
P
n Xn Xn Yn 2
1 1.1 1.1 −0.1 Yn
2 1.8 2.9 −0.9 1 Xn
3 0.7 3.6 −0.6
4 0.1 3.7 0.3 0
5 1.2 4.9 0.1
−1 n
1 2 3 4 5
Apartado b
Y1 es una simple transformación lineal de una VA exponencial: Y1 = 1 − X1 . Aplicando el teorema fundamental,
escribirı́amos:
x=1−y raı́z simple
y = g(x) = 1 − x ⇒ g 0 (x) = −1
0 < x < +∞ ⇒ 0 < 1 − y < +∞ ⇒ −1 < −y < +∞ ⇒ −∞ < y < 1
por tanto,
fX (1 − y) ey−1
fY (z) = = = ey−1 con − ∞ < y < 1
| − 1| 1
Apartado c
1
Dado que las Xn son VA exp(1), sabemos que, para cualquier n, E(Xn ) = = 1. Por tanto,
1
n n n
!
X X X
E(Yn ) = E n − Xk =n− E(Xk ) = n − 1=n−n=0
k=1 k=1 k=1
,Apartado d
1
Dado que las Xn son VA exp(1), sabemos que, para cualquier n, Var(Xn ) = = 1. Por tanto,
12
n n n n
! !
ind
X X X X
Var(Yn ) = Var n − Xk = (−1)2 Var Xk = Var(Xk ) = 1=n
k=1 k=1 k=1 k=1
Apartado e
Como n < m, podemos decir que,
m n m m
!
X X X X
0
Ym = m − Xk = n + (m − n) − Xk + Xk = Yn + (m − n) − Xk = Yn + Ym−n
k=1 k=1 k=n+1 k=n+1
0
donde Ym−n es independiente de Yn , por tanto,
0 0 ind 0
RY [n, m] = E(Yn Ym ) = E[Yn (Yn + Ym−n )] = E(Yn2 ) + E(Yn Ym−n E2
) = Var(Yn ) + (Y
n) +
E(Y )E(Y )=n
n
m−n
Apartado f
El proceso Yn es estacionario en media (ésta no depende de n), pero no en autocorrelación (ésta depende del
instante concreto, no de la diferencia de tiempos). Por tanto, no es estacionario en sentido amplio.
, Un estudiante de Ingenierı́a de Telecomunicación va a la Escuela cada dı́a lectivo en el coche de un amigo y vuelve
a su casa en autobús. Cada dı́a decide la lı́nea que utiliza de forma independiente, usando el autobús U1 con
probabilidad p. En caso contrario usa el U2. Si utiliza el U1, el tiempo en minutos que tarda en llegar a su casa,
que denotamos X1 , se puede modelar como una distribución uniforme U(19, 31). En caso de tomar el U2, el tiempo
en minutos que tarda en llegar a su casa es una VA X2 ∼ U(24, 36). Los tiempos de viaje de los autobuses son
independientes entre sı́ e independientes de lo ocurrido en dı́as diferentes. Sea X la VA que mide los minutos que
tarda el estudiante en llegar a su casa un dı́a lectivo cualquiera.
a) Calcula la probabilidad de que el estudiante tarde más de 27 minutos en llegar a su casa.
b) Si sabemos que el estudiante ha tardado más de 27 minutos en llegar a su casa, ¿cuál es la probabilidad de
que hubiera tomado el U2?
c) ¿Cuál deberı́a ser el valor de p para que el tiempo medio que el estudiante tarda en llegar a su casa un dı́a
lectivo sea de 28 minutos?
d) Calcula la varianza de X.
e) Si tomamos como referencia un mes donde el número de dı́as lectivos es 20, calcula el número medio de dı́as
lectivos en ese mes que el estudiante tarda menos de 27 minutos en llegar a su casa.
f) Considera ahora que el alumno siempre usa el U1 (p = 1) y que en el curso actual ha habido 108 dı́as lectivos.
¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante haya empleado en total, durante todo el curso, más de 44 horas
realizando el trayecto de la universidad a su casa?
Puntuación (sobre 10) de cada apartado: a–2, b–1, c–1, d–2, e–2, f–2
Apartado a
Aplicamos el Teorema de las Probabilidades Totales:
P(X > 27) = P(X > 27 / U1 ) P(U1) + P(X > 27 / U2 ) P(U2) =
31 − 27 36 − 27 9 − 5p
= P(X1 > 27) · p + P(X2 > 27) · (1 − p) = ·p+ · (1 − p) =
31 − 19 36 − 24 12
Apartado b
En este caso aplicamos el Teorema de Bayes:
9(1 − p)
P(X > 27 / U2 ) P(U2) 12 9 − 9p
P(U2 / X > 27 ) = = =
P(X > 27) 9 − 5p 9 − 5p
12
Apartado c
Aplicamos de nuevo el Teorema de las Probabilidades Totales, en este caso para esperanzas:
E(X) = E(X / U1 ) P(U1) + E(X / U2 ) P(U2) =
31 + 19 36 + 24
= E(X1 ) · p + E(X2 ) · (1 − p) = ·p+ · (1 − p) = 30 − 5p
2 2
Por lo tanto,
28 − 30 2
E(X) = 30 − 5p = 28 ⇒ p= =
−5 5
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