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Résumé Cours mathématique variable, intégrale et dérivation ecole ingénieur bac+3
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Cours mathématique variable, intégrale et dérivation école ingénieur bac+3 37 pages complètes
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3T-MN1Mathématiques appliquées
Fonctions à plusieurs variables
M-L. Cauwet
Bureau 4357
marie-liesse.cauwet@esiee.fr
Année scolaire : 2020-2021
,Table des matières
1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables 3
1.1 Quelques notions de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dérivation 13
2.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Intégration 26
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Changement de variables dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Changement de variables dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
,Chapitre 1
Généralités sur les fonctions de plusieurs
variables
Les fonctions sont des représentations mathématiques de réels phénomènes physiques, biologiques,
économiques ... Les fonctions qui vous sont familières sont les fonctions à une seule variable : tradition-
nellement notée f , une telle fonction prend en entrée une variable x P R (la “cause”) et a pour sortie
y “ f pxq P R (l’“effet”). On a donc une variable réelle en entrée et une sortie réelle. De telles fonctions
décrivent uniquement des phénomènes très simples.
Pour modéliser de façon satisfaisante de nombreux phénomènes physiques, nous avons en réalité
besoin de manipuler plusieurs entrées et plusieurs sorties. Par exemple :
‚ Loi des gaz parfaits. En thermodynamique, l’équation suivante, bien connue, décrit le comporte-
ment d’un gaz parfait :
P V “ nRT
où P désigne la pression (P a), V le volume (m3 ), T la température (K), n la quantité de matière
(mol) et R une constante.
On peut réécrire cette équation en introduisant une fonction f à plusieurs variables :
f pP , V , T q “ 0
#
RˆRˆR Ñ R
avec f :
pP , V , T q ÞÑ P V ´ nRT
Ñ
Ý
‚ Champ électrique. En électrostatique, le champ électrique E créé par une charge à l’origine q au
point A situé en px, y, zq est donné par la formule :
Ñ
Ý qÝ
E “ k 2Ñ
er
r
a
où r est la distance entre l’origine et le point A (c’est-à-dire r “ x2 ` y 2 ` z2 ), Ñ
Ýe est le vecteur
r
unitaire de la droite reliant l’origine et le point A et k est une constante.
Autrement dit, nous avons affaire ici à une fonction f qui, à chaque point de l’espace, associe un
vecteur : #
RˆRˆR Ñ RˆRˆR
f : qÝ
px, y, zq ÞÑ k r 2 Ñ
er
‚ Vibration de la peau d’un tambour. Si l’on considère une peau de tambour circulaire attachée
rigidement sur la totalité de ses bords, sous certaines conditions que l’on ne détaille pas ici, la
hauteur h en un point du tambour sera donnée par :
#
R3 ÑR (complétez)
h :
pr, θ, tq ÞÑ h0 1 ´ r 2 {R2 cospωtq
` ˘
où pr, θq est un système de coordonnées polaires, t le temps, ω la fréquence d’oscillation, R le rayon
du tambour et h0 une constante.
3
, CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 4
Vous l’aurez compris, on s’intéresse dans ce cours aux fonctions de plusieurs variables réelles de la
forme :
#
Rn Ñ Rp
f :
px1 , x2 , . . . , xn q ÞÑ py1 , y2 , . . . , yp q
avec n et p des entiers non nuls.
Nous devons donc généraliser pour ce type de fonctions les notions et résultats étudiés pour les
fonctions réelles d’une seule variable réelle vues auparavant :
‚ Régularité : continuité et dérivabilité. Par exemple, le calcul différentiel intervient lors de
l’élaboration de bilans en thermodynamique.
‚ Intégrabilité. Le calcul d’intégrales multiples intervient dans de nombreux domaines de la phy-
sique. Par exemple, en thermodynamique, on peut s’intéresser au calcul de flux thermique global
à travers une surface, qui met en jeu une intégrale double :
żż
Ý Ý
Ñ Ñ
Φ“ φ ¨ dS
S
1.1 Quelques notions de topologie
Motivations
Rappel : Notion de limite pour une fonction f : R Ñ R. On note Df le domaine de définition de
f . Soit un réel x0 tel que f soit définie au voisinage de x0 (mais pas nécessairement en x0 lui-même).
On dit que f a pour limite le réel ` quand x tend vers x0 si, et seulement si,
@ ą 0, Dα ą 0, @x P Df ztx0 u, |x ´ x0 | ă α ñ |f pxq ´ `| ă
On souhaite étendre la notion de limite au cas d’une fonction f : Rn Ñ Rp . Qu’est-ce qui va poser
problème si l’on essaie d’appliquer la définition ci-dessus ?
‚ La valeur absolue : |x ´ x0 | et |f pxq ´ `| n’ont pas de sens si x, x0 , f pxq et ` sont des vecteurs
(essayez donc de calculer |p1; 1q ´ p0; 7q| ... cela ne veut rien dire.)
‚ La notion de voisinage : pour un réel x0 , W est un voisinage de x0 si, et seulement si, W
contient un intervalle de la forme sx0 ´ α; x0 ` αr, avec α ą 0. Nous travaillons maintenant
avec des vecteurs : par quoi va-t-on remplacer l’intervalle dans ce cas ?
1.1.1 Norme
|x ´ x0 | est tout simplement la distance entre x et x0 . Or vous savez déjà calculer la distance entre
deux points dans R2 ou R3 : la distance (euclidienne) entre A “ pxA , yA q et B “ pxB , yB q est donnée par
b
pxB ´ xA q2 ` pyB ´ yA q2 . Nous allons voir :
‚ comment définir la distance entre deux points d’un espace Rn avec n un entier arbitraire ;
‚ qu’il existe en fait plusieurs manières de définir une distance entre deux points, et, selon les cas,
une formule sera plus adéquate qu’une autre pour mener à bout certains calculs.
Pour cela, nous allons introduire la notion de norme.
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