Summary
Samenvatting Wiskunde: Matrices
- Course
- Institution
Alle te kennen definities en bewijzen van het boek 'Matrices' van Ida Ruts.
[Show more]
1 review
By: nabilaasi • 4 year ago
perfect
Seller
Follow
SaschaV
Reviews received
Content preview
1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2Wiskundige methoden en technieken
Matrices
A. Eigenschappen
Hoofdstuk 1: inleiding
1. Matrices
Het product van 2 matrices is niet commutatief, er geldt:
A.B≠B.A
=> want (m x n) x (n x k) ≠ (n x k) x (m x n)
Het product van matrices is associatief, er geldt:
A . (B . C) = (A . B) . C
=> want: (m x k)[(k x l)(l x n)]
= [(m x k)(k x l)](l x n)
Het product van matrices is distributief t.o.v. de optelling, er geldt:
A . (B + C) = A . B + A . C
=> want: (m x k)[(k x n) + (k x n)]
= [(m x k)(k x n)] + [(m x k)(k x n)]
De vermenigvuldiging van een matrix met een nulmatrix, er geldt:
A.0=0.A=0
=> ordes van nulmatrices verschillen !
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n)(m x n)
De vermenigvuldiging van een matrix met een eenheidsmatrix, er geldt:
A.I=I.A=A
=> ordes van eenheidsmatrices verschillen!
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n) = (m x n)
2. Transponeren
Idempotentie
T
=A
Uitsplitsen van getransponeerde matrices
- Voor twee matrices van dezelfde orde geldt:
(A + B)’ = A’ + B’
- Voor elke matrix en elk scalair geldt:
(
Getransponeerde van een product
(A . B) ‘ = B’ . A’
=> bekijken via orders:
[(m x k).(k x n)]’ = (k x n)’ . (m x k)’
of
(n x m) = (n x m)
1
,1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2
3. Speciale producten
Rij x kolom = getal
Kolom x rij = matrix
=> (m x 1) . (1 x n) = (m x n)
Matrix x kolom = kolom
Kolom x matrix = /
Rij x matrix = rij
Matrix x rij = /
Hoofdstuk 2: determinanten
4. Eigenschappen van determinanten
Wanneer een matrix een nulrij / nulkolom bevat, dan is zijn determinant 0
Wanneer 2 rijen / kolommen van plaats verwisselen, dan verandert de
determinant van teken (- of +)
Wanneer een matrix 2 identieke rijen / kolommen bevat, dan is de
determinant 0
Wanneer een rij of kolom vermenigvuldigd wordt met een factor , dan
wordt ook de determinant met dezelfde factor vermenigvuldigd
Wanneer alle elementen van een (n x n) matrix vermenigvuldigd worden
met een factor , dan wordt de determinant met factor n vermenigvuldigd
Determinanten kunnen opgesplitst worden volgens een rij of kolom
Vb;
= +
Wanneer men in een matrix bij een rij/kolom een aantal keren een andere
rij/kolom optelt, dan blijft de determinant onveranderd
Wanneer een rij/kolom een lineaire combinatie is van andere rijen of
kolommen van de matrix, dan is de determinant 0.
De determinant van de getransponeerde matrix = determinant van de
oorspronkelijke matrix
=> Det A = det A’
De determinant van het product van 2 vierkante matrices met dezelfde orde
= product van de determinanten van de matrices afzonderlijk
=> det (A . B) = det A . det B
= det (B . A)
2
, 1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2
Hoofdstuk 3: inverse
5. Definitie van een inverse matrix
Men noemt een vierkante matrix A regulier als det A ≠ 0
er bestaat een inverse matrix voor A en omgekeerd
inverse matrixen zijn uniek
Men noemt B een inverse matrix van A als B . A = A . B = I
6. Eigenschappen inverse matrix
Inverse van product van 2 matrices = omgekeerde product van inversen
van de matrix afzonderlijk:
(A . B)-1 = B-1 . A-1
Determinant van inverse van matrix = omgekeerde van de determinant van
de matrix zelf:
2x inverteren = nul-operatie
=A
De volgorde van de operaties ‘inverteren’ en ‘transponeren’ is willekeurig
=
Wanneer een scalair wordt buiten gebracht uit een inverse, moet hij worden
omgekeerd
De inverse matrix van een symmetrische matrix is terug symmetrisch
De inverse matrix van een diagonaalmatrix is terug een diagonaalmatrix
maar met omgekeerde elementen
De inverse matrix van een bovendriehoeksmatrix is terug een
bovendriehoeksmatrix
De inverse matrix van een benedendriehoeksmatrix is terug een
benedendriehoeksmatrix
De inverse van een macht van een matrix = dezelfde macht van de inverse
van de matrix
=> kan ook geschreven worden als
Twee vierkante nuldelers hebben altijd determinant 0
als A . B = 0 met A ≠ 0 en B ≠ 0
dan is det A = 0 en det B = 0
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller SaschaV. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.83. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
56326 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now