Probabilité et statistiques

Probabilité et stat

I. Probabilité

Statistique: branche des mathématiques ayant pour objet l’analyse et l’interprétation des données
quantifiables. Exemples fondamentaux : diversité écologique, temps de division des cellules, tailles
des étudiants.

- Décrire des données:
 Tableau des effectifs, des fréquences, moyenne, médiane (stat descriptive)
 Histogramme (manque de précision)
Problèmes : effectif et classes (taille des classes)

Notion d’histogramme:
On fixe l4aire, l’Aire de tous les histogrammes normalisés à 1 afin de pouvoir les comparer pour une
meilleure visualisation du monde  stat descriptive

II. Statistique
 Pour prédire et ne pas seulement décrire
 Se concentre sur les probabilités continues donc sur le tirage au hasard pour en tirer des
informations (variance/espérance)

A. Loi de probabilité

: Univers: ensemble des possibilités, souvent =R ou = [0 ;+]
Evènement : fait partie de  : A C  donc A= évènement
Probabilité, sur : est une application P qui prend les évènements et renvoie à un nombre entre 1 et 0
qui vérifie:
o P ()=1
o Si A et B disjoints : P(A) U P(B)=P(A) x P(B)

PROPRIETE: P( Ac )=1-P(A) et P(AUB)=P(A)+ P(B)+P(AB)

PREUVE:
1. P(A U Ac)=1=P()
De plus A et Ac sont disjoint donc P(AUA)=P(A) + P(Ac )
2. On a : AUB= (A/B) U (AB) U (A\B) On peut donc dire : P(AUB)= P(A/B)+(AB)+P(A\B)
Mais A= (A/B) U (AB) donc P(A)= P(A/B)+P(AB)
De même B= (A/B) U (AB) donc P(B)=P(A/B)+P(AB)
 Somme des 3 probabilités : P(AUB)=P(A)- P(AB)+P(B)+ P(AB) :autant qu’au début

B. Variable aléatoire

Variable aléatoire : une fonction de dans R, on prend un nombre au hasard:
Exemple : ={1,…,6}
On lance deux dés à 6 faces et on regarde la somme des dés
L’application X : x  R soit x1*x2 x1+x2
La loi d’une variable aléatoire est une probabilité défini sur R par P(XA)=Px(A)
Exemple : ={1,…,6}x{1,…,6}
1 1 1 1 2 1
P({i,j})= x = 36 Donc P(X=2)= et P(X=3)= =
6 6 ¿ 36 36 18
¿

, C. Densité
1. Intégrale
A
Intégrale : On dit que f de est une intégrale si Alim
→+ ∞
¿ ∫ ¿ f ( x )∨¿ ¿dx est f(x)
−A
+∞ A
Dans ce cas : ∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
∫ f ( x ) dx
−∞ −A


Exemple : f : x f(x)=0 si x<0 et e-x si x>0
+∞ A 0 A

∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
f (x)  ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx
−∞ −A −A 0
A
−x
Donc : ∫ e dx= [-e-x]0A = 1-e-A
0
+∞
−1
Donc : ∫ f ( x ) dx = Alim
→+ ∞
1−e =1
−∞
2. Densité
+∞
Densité : f de R dans R est une densité si f(x)>0 pour tout x et ∫ f ( x ) dx =1
−∞


PROPRIETE: Soit f la densité et X:(,P)R une variable aléatoire. On dit que f est la densité de X si
b
pour tout point [a, b] C R P(XA)=∫ f ( x ) dx
a
2
−x
Si on prend une variable aléatoire qui à pour densité f; P(x [1, 2])=∫ e dx=[-e-x]12=e-e2
1


Densité : limite des histogrammes lorsqu’il y a beaucoup de donnés, sert à calculer des probabilités.

Exemple 1 : Soit f de R dans R une fonction tel que f(x)=0 si x<0 et e-x si x>0
+∞ 0 +∞ +∞ +∞

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx=∫ e−x dx=[-e -x
]0+=1-e-2=1
−∞ −∞ 0 0 0
3
−x
On peut calculer P ([2, 3]) = ∫ e dx=[-e-x]0+=-e-2-e-3
2


1
Exemple 2 : Pour a<b, on définit pour tout x R f(x)=0 si x[a, b] et si x[a, b]
b−a
1
b>a donc b-a>0 donc > 0 donc f(x)>0
b−a
+∞ a b +∞ b b
1 b−a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) d x+ ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx =∫ b−a
dx =
b−a
=1
−∞ −∞ a b a a
 f est une fonction de densité
On peut calculer P(X[0.7; 0.85]) avec a=0 et b=1
0.85
1
= ∫ 1−0 dx =0.85-0.7=0.15
0.7


( x−m)2 1 -
Exemple 3: m est un nombre et >0, on définit pour tout xR f(x)= e
√2❑2 22