Other
Samenvatting Lineaire Algebra
- Course
- Institution
Een overzicht van de begrippen en rekenmethoden voor het vak Lineaire Algebra aan de UU. Dit is gebaseerd op het dictaat van Professor Beukers.
[Show more]
Seller
FollowRichardSchoonhoven
Reviews received
Content preview
Lineaire AlgebraJanuary 25, 2014
Contents
1 Vectoren 2
2 Matrices 4
3 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 5
4 Onafhankelijkheid en Rang 6
5 Determinanten 8
6 Vectorruimten 9
7 Lineaire Afbeeldingen 10
8 Eigenwaarden en Eigenvectoren 10
9 Orthogonale en Orthonormale Stelsels 12
1
,1 Vectoren
Vectoren : Een vector is een verschuiving in de ruimte, weergegeven door
een pijl ~v . Een vector ~v verschuift een punt A naar een punt B. Een vector
kan in coördinaten weergegeven worden door ~x = λ~e1 + µ~e2 + · · · + ν~en . Hier
zijn ~e1 , ~e2 , . . . , ~en vectoren van lengte 1 en loodrecht op elkaar. λ, µ, . . . , ν zijn
de kentallen van de vector. Doorgaans wordt een vector als volgt aangegeven:
x1
x2
~x = .. of ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )t
.
xn
Nulvector : De nulvector is een vector met lengte 0, genoteerd: ~0
Lengte Vector in Rn : De lengte van een vector ~a wordt gegeven door:
|~a|2 = a21 + a22 + · · · + a2n
Vector Optelling : Vectoren optellen/aftrekken gaat door eerst translatie
~a uit te voeren en dan translatie ~b. De vector ~a + ~b kan gevonden worden
met de parallelogramwet. In coördinaten geldt:
~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )t
Scalaire vermenigvuldiging : Een vector kan vermenigvuldigt worden met
een reëel getal, genoteerd: λ~a, λ ∈ R. In coördinaten: λ~a = (λa1 , λa2 , . . . , λan )t .
Een tweetal vectoren zijn onafhankelijk als er de ene geen scalair veelvoud
van de andere is.
Rekenregels Vectoren :
Commutativiteit ~a + ~b = ~b + ~a
Associativiteit ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c en λ(µ~a) = (λµ)~a
Distributiviteit λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b en (λ + µ)~a = λ~a + µ~a
Oorsprong : De ruimte kent een oorsprong waar de coördinaten allemaal 0
−→
zijn, genoteerd: O. De vector die van O naar een punt P gaat is OP .
−→ −→
Lijnen : Laat p~ = OP en ~q = OQ, dan wordt de lijn door P en Q gegeven
door:
l = p~ + λ(~q − p~), λ ∈ R
2
, Hier is ~q − p~ de richtingsvector en p~ de steunvector. Het punt midden van
het lijnstuk PQ wordt gegeven door: 21 (~p + ~q)
−→ −−→ −→
Vlakken : Laat ~a = OA, ~b = OB en ~c = OC. De richtingsvectoren van het
vlak V door A,B,C zijn dan ~b − ~a en ~c − ~a. Met ~a als steunvector wordt de
parametervoorstelling van V dan gegeven door:
V = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a), λ, µ ∈ R
Een vlak kan ook als een vergelijking worden weergegeven (in R3 ):
V = a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3
Deze kan worden gevonden door de parametervoorstelling te vegen totdat
er alleen nog coëfficiënten en meerdere variabelen in de vergelijking voor x1
voorkomen. Andersom kan uit een vergelijking ook een parametervoorstelling
gevonden worden.
Elk vlak heeft een normaalvector ~n die loodrecht op het vlak staat. Er geldt
voor elk punt ~x ∈ V dat ~n · p~ = ~n · ~x voor een vast punt p~ ∈ V . Met deze
eigenschap kan ook een vergelijking van V worden afgeleid.
Snijpunten/snijlijnen tussen lijnen/vlakken kunnen gevonden worden door
de paramtervoorstellingen van de lijnen/vlakken aan elkaar gelijk te stellen
en dan op te lossen. Zo’n stelsel vergelijkingen is strijdig als er contradictie
in voorkomt. Het stelsel heeft dan geen oplossingen.
Inproduct in Rn (Dotproduct) : Zij θ de hoek tussen twee vectoren
~a, ~b. Het inproduct tussen ~a en ~b wordt dan gedefinieerd als:
~a · ~b = |a||b| cos θ, ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
Als ~a · ~b = 0 en ~a 6= 0, ~b 6= 0 staan ~a en ~b loodrecht op elkaar. De vectoren
zijn dan orthogonaal. Verder geldt |~a|2 = ~a · ~a.
Inproduct Algemeen : Een functie V × V → R genoteerd als h~x, ~y i met
de volgende eigenschappen:
1. h~x, ~y i = h~y , ~xi voor alle ~x, ~y ∈ V .
2. hλ~x, ~y i = λh~x, ~y i voor alle ~x, ~y ∈ V en λ ∈ R.
3. h~x + ~y , ~zi = h~x, ~zi + h~y , ~zi voor alle ~x, ~y , ~z ∈ V .
4. h~x, ~xi ≥ 0 voor alle ~x ∈ V en h~x, ~xi = 0 ⇐⇒ ~x = ~0.
Lengte
p Vector Algemeen : De lengte van een vector ~v wordt gedefinieerd
als h~v , ~v i notatie: ||~v ||.
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller RichardSchoonhoven. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.83. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
52510 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now