Overig
Samenvatting Analyse
- Vak
- Instelling
Een overzicht van de belangrijke begrippen en stellingen in de (pure) analyse. Het is gebaseerd op het vak Inleiding Analyse aan de UU en het bijbehorend dictaat van E. van der Ban.
[Meer zien]Voorbeeld 3 van de 16 pagina's
Voorbeeld 3 van de 16 pagina's
In winkelwagen
In winkelwagen
1 beoordeling
Door: bluecat789 • 5 jaar geleden
Verkoper
Volgen
RichardSchoonhoven
Ontvangen beoordelingen
Voorbeeld van de inhoud
Stellingen, lemma’s en definities dictaatHoofdstuk 1, Limieten en continuı̈teit
1.1 De afstand in Rn
Lemma 1.2 (Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz)
Voor ieder tweetal x, y ∈ Rn geldt:
| < x, y > | ≤ ||x||||y||
(Deze ongelijkheid is een gelijkheid dan en slechts dan als x en y lineair onafhankelijk zijn).
Lemma 1.3
Voor alle x, y ∈ Rn en λ ∈ R geldt:
(a) ||x|| ≥ 0 en ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
(b) ||λx|| = |λ|||x||
(c) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (driehoeksongelijkheid)
Gevolg 1.5
(a) (’Herhaalde driehoeksongelijkheid’) Voor alle m ≥ 2, x1 , ..., xm ∈ Rn geldt:
||x1 + ... + xm || ≤ ||x1 || + ... + ||xm ||
(b) (’Omgekeerde driehoeksongelijkheid’) Voor alle x, y ∈ Rn geldt:
||x − y|| ≥ |||x|| − ||y|||
Lemma 1.7 Voor elke x ∈ Rn geldt: Pn
(a) |xi | ≤ ||x|| voor alle 1 ≤ i ≤ n. (b) ||x||leq i=1 |xi |. Opmerking: hiervoor zijn alleen algemene eigen-
schappen van de norm (1.3) gebruikt, dit geldt derhalve voor elke norm.
1.2 Limieten van functies
Definitie 1.12
Laat f : Rn → Rm een functie zijn, en a ∈ Rn en b ∈ Rm punten. Men zegt dat f in a de limiet b (notatie:
limx→a f (x) = b) als voor iedere > 0 een δ > 0 bestaat met de volgende eigenschap: Als x ∈ Dom(f ) en
d(x, a) < δ, dan d(f (x), b) <
Lemma 1.16
Zij f : Rn → Rm , a ∈ Rn en b ∈ Rm . Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
(a) limx→a f (x) = b;
(b) limx→a d(f (x), b) = 0
Definitie 1.17
Is a ∈ Rn en r > 0, dan definieren we de (open) bol met middelpunt a en straal r door:
B(a; r) = {x ∈ Rn | d(x, a) < r}
Definitie 1.12’
Met de definitie van bollen kunnen we de limiet-definitie als volgt herschrijven:
Voor elke > 0, bestaat er een δ > 0, zodat f (Dom(f ) ∩ B(a; δ)) ⊂ B(b; ).
Opmerking 1.19
Er kan zich de merkwaardige situatie voordoen dat een functie f : Rn → Rm meer dan één limiet heeft voor
x → a, Dit gebeurt as er een δ > 0 bestaat zodat B(a; delta) ∩ Dom(f ) = ∅.
Bewering: Veronderstel dat er een δ > 0 bestaat zo dat B(a; δ) ∩ Dom(f ) = ∅. Dan geldt dat voor elke
b ∈ Rm dat limx→a f (x) = b.
1
,Definitie 1.20
Zij A ⊂ Rn . Onder een limietpunt van A verstaan we een punt a ∈ Rn met de volgende eigenschap:
voor alle δ > 0 geldt: B(a; δ) ∩ A 6= ∅
Lemma 1.22 (eenduidigheid van limiet)
Zij f : Rn → Rm een functie en a een limietpunt van Dom(f ). Veronderstel dat b, c ∈ Rm en dat
limx→a f (x) = b en limx→a f (x) = c. Dan geldt b = c.
1.3 Rekenregels voor limieten
Lemma 1.25 (Somregel)
Laat f : Rn → Rm en g : Rn → Rm functies zijn, en a ∈ Rn en b, c ∈ Rm punten.
Als limx→a f (x) = b en limx→a g(x) = c, dan limx→a (f (x) + g(x)) = b + c.
Lemma 1.26 (Productregel)
Laat f : Rn → R en g : Rn → Rm functies zijn, en a ∈ Rn , λ ∈ R, b ∈ Rm .
Als limx→a f (x) = λ en limx→a g(x) = b, dan limx→a f (x)g(x) = λb.
Lemma 1.28 (Quotientregel)
Laat f : Rn → R een functie, a ∈ Rn en λ ∈ R, λ 6= 0.
1
Als limx→a f (x) = λ, dan limx→a f (x) = λ1
Lemma 1.30
Laat f : Rn → Rm een functie zijn en a ∈ Rn en b ∈ Rm punten. Dan zijn de volgende beweringen equiva-
lent:
(a) limx→a f (x) = b;
(b) limx→a fi (x) = bi voor alle 1 ≤ i ≤ m
Lemma 1.32
Laat f : Rn → Rm en g : Rm → Rp functies zijn, en a ∈ Rn , b ∈ Rm en c ∈ Rp punten.
Als limx→a f (x) = b en limy→b g(y) = c dan limx→a g(f (x)) = c.
1.4 Limieten en ongelijkheden
Lemma 1.33
Laat D ⊂ Rn zijn en a een limietpunt van D. Laat f, g : D → R functies zijn en veronderstel dat
limx→a f (x) = b en limx→a g(x) = c met b, c ∈ R.
Als f (x) ≤ g(x) voor alle x ∈ D dan geldt ook: b ≤ c.
Opmerking: strikte ongelijkheden blijven niet altijd behouden. Neem als voorbeeld D =]0, ∞] en f (x) = 0,
g(x) = x.
Lemma 1.35 (Insluitstelling)
Laat D ⊂ Rn en f, g, h : D → R een drietal functies met f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) voor alle x ∈ D. Veronderstel
dat a ∈ Rn en dat er een λ ∈ R bestaat met limx→a f (x) = λ en limx→a h(x) = λ.
Dan geldt ook limx→a g(x) = λ.
1.5 Continuiteit
Definitie 1.38
Een functie f : Rn → Rm heeft continu in een punt a ∈ Rn als a ∈ Dom(f ) en bovendien: limx→a f (x) =
f (a).
De functie f heet continu op een verzameling A ∈ Rn als f continu is in elk punt a ∈ A. De functie f heeft
continu als hij continu is op Dom(f ).
2
, Lemma 1.41
Zij f = (f1 , ..., fm ) : Rn → Rm een functie en a ∈ Rn een punt. Dan zijn de volgende uitspraken gelijk-
waardig:
(a) De functie f is continu in a;
(b) Voor iedere 1 ≤ i ≤ m is de funcite fi continu in a.
Lemma 1.43
Laat f, g : Rn → Rm functies zijn en a ∈ Rn een punt. Als f en g continu zijn in a, dan is de somfunctie
f + g dat ook.
Lemma 1.44
Laat f : Rn → R en g : Rn → Rm functies zijn en a ∈ Rn een punt.
(a) Als f en g continu in a dan is f g dat ook.
(b) Als f continu is in a en bovendien geldt dat f (a) 6= 0, dan is ook de functie 1/f : x → 1/f (x) continu in a.
Lemma 1.45
Iedere rationele functie op Rn is continu op zijn domein.
Lemma 1.47
Laat f : Rn → Rm en g : Rm → Rp functies zijn.
(a) Is f continu in a en g continu in f (a), dan is de samenstelling g ◦ f continu in a.
(b) Zijn f en g continu op hun domein, dan is ook g ◦ f continu op zijn domein.
1.6 Toepassing: rekenregels voor differentieren
Veronderstel dat I ⊂ R een interval met meer dan één punt.
Definitie 1.49
Zij f : I → Rn en a ∈ I. De functie f heeft differentieerbaar in a als er een vector v ∈ Rn bestaat met:
f (x) − f (a)
limx→a =v
x−a
Lemma 1.53
Laat f : I → Rn differentieerbaar zijn in a. Dan is f continu in a.
Lemma 1.54
Zij f = (f1 , ..., fn ) : I → Rn een functie en a ∈ I. De functie f is differentieerbaar in a dan en slecht dan
als elke van de functies fi (1 ≤ i ≤ n) differentieerbaar is in a. Is f differentieerbaar in a dan geldt:
f 0 (a) = (f10 (a), ..., fn0 (a))
Lemma 1.55
Laat f, g : I → R differentieerbaar zijn in a ∈ I, zij λ ∈ R. Dan zijn ook de functies f + g, f g en λf
differentieerbaar in a. Voorts geldt:
(a) (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)
(b) (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
(c) (λf )0 (a) = λf 0 (a)
Is bovendien g(a) 6= 0 dan is ook de functie f /g differentieerbaar in a, en er geldt:
0 0
(a)g 0 (a)
(d) fg (a) = f (a)g(a)−f g(a)2
Stelling 1.56 (De kettingregel)
Zij f : I → R, a ∈ R, J ⊂ R een interval dat f (I) bevat en g : J → R. Als f en g differentieerbaar zijn in
a, resp. f (a), dan is g ◦ f differentieerbaar in a, met afgeleide:
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a)
3
Dit zijn jouw voordelen als je samenvattingen koopt bij Stuvia:
Bewezen kwaliteit door reviews
Studenten hebben al meer dan 850.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet jij zeker dat je de beste keuze maakt!
In een paar klikken geregeld
Geen gedoe — betaal gewoon eenmalig met iDeal, creditcard of je Stuvia-tegoed en je bent klaar. Geen abonnement nodig.
Direct to-the-point
Studenten maken samenvattingen voor studenten. Dat betekent: actuele inhoud waar jij écht wat aan hebt. Geen overbodige details!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper RichardSchoonhoven. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $5.26. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 70001 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 15 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
Laatst bekeken door jou
