Autre
Samenvatting Analyse
- Cours
- Établissement
Een overzicht van de belangrijke begrippen en stellingen in de (pure) analyse. Het is gebaseerd op het vak Inleiding Analyse aan de UU en het bijbehorend dictaat van E. van der Ban.
[Montrer plus]
1 vérifier
Par: bluecat789 • 5 année de cela
Vendeur
S'abonner
RichardSchoonhoven
Avis reçus
Aperçu du contenu
Stellingen, lemma’s en definities dictaatHoofdstuk 1, Limieten en continuı̈teit
1.1 De afstand in Rn
Lemma 1.2 (Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz)
Voor ieder tweetal x, y ∈ Rn geldt:
| < x, y > | ≤ ||x||||y||
(Deze ongelijkheid is een gelijkheid dan en slechts dan als x en y lineair onafhankelijk zijn).
Lemma 1.3
Voor alle x, y ∈ Rn en λ ∈ R geldt:
(a) ||x|| ≥ 0 en ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
(b) ||λx|| = |λ|||x||
(c) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (driehoeksongelijkheid)
Gevolg 1.5
(a) (’Herhaalde driehoeksongelijkheid’) Voor alle m ≥ 2, x1 , ..., xm ∈ Rn geldt:
||x1 + ... + xm || ≤ ||x1 || + ... + ||xm ||
(b) (’Omgekeerde driehoeksongelijkheid’) Voor alle x, y ∈ Rn geldt:
||x − y|| ≥ |||x|| − ||y|||
Lemma 1.7 Voor elke x ∈ Rn geldt: Pn
(a) |xi | ≤ ||x|| voor alle 1 ≤ i ≤ n. (b) ||x||leq i=1 |xi |. Opmerking: hiervoor zijn alleen algemene eigen-
schappen van de norm (1.3) gebruikt, dit geldt derhalve voor elke norm.
1.2 Limieten van functies
Definitie 1.12
Laat f : Rn → Rm een functie zijn, en a ∈ Rn en b ∈ Rm punten. Men zegt dat f in a de limiet b (notatie:
limx→a f (x) = b) als voor iedere > 0 een δ > 0 bestaat met de volgende eigenschap: Als x ∈ Dom(f ) en
d(x, a) < δ, dan d(f (x), b) <
Lemma 1.16
Zij f : Rn → Rm , a ∈ Rn en b ∈ Rm . Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
(a) limx→a f (x) = b;
(b) limx→a d(f (x), b) = 0
Definitie 1.17
Is a ∈ Rn en r > 0, dan definieren we de (open) bol met middelpunt a en straal r door:
B(a; r) = {x ∈ Rn | d(x, a) < r}
Definitie 1.12’
Met de definitie van bollen kunnen we de limiet-definitie als volgt herschrijven:
Voor elke > 0, bestaat er een δ > 0, zodat f (Dom(f ) ∩ B(a; δ)) ⊂ B(b; ).
Opmerking 1.19
Er kan zich de merkwaardige situatie voordoen dat een functie f : Rn → Rm meer dan één limiet heeft voor
x → a, Dit gebeurt as er een δ > 0 bestaat zodat B(a; delta) ∩ Dom(f ) = ∅.
Bewering: Veronderstel dat er een δ > 0 bestaat zo dat B(a; δ) ∩ Dom(f ) = ∅. Dan geldt dat voor elke
b ∈ Rm dat limx→a f (x) = b.
1
,Definitie 1.20
Zij A ⊂ Rn . Onder een limietpunt van A verstaan we een punt a ∈ Rn met de volgende eigenschap:
voor alle δ > 0 geldt: B(a; δ) ∩ A 6= ∅
Lemma 1.22 (eenduidigheid van limiet)
Zij f : Rn → Rm een functie en a een limietpunt van Dom(f ). Veronderstel dat b, c ∈ Rm en dat
limx→a f (x) = b en limx→a f (x) = c. Dan geldt b = c.
1.3 Rekenregels voor limieten
Lemma 1.25 (Somregel)
Laat f : Rn → Rm en g : Rn → Rm functies zijn, en a ∈ Rn en b, c ∈ Rm punten.
Als limx→a f (x) = b en limx→a g(x) = c, dan limx→a (f (x) + g(x)) = b + c.
Lemma 1.26 (Productregel)
Laat f : Rn → R en g : Rn → Rm functies zijn, en a ∈ Rn , λ ∈ R, b ∈ Rm .
Als limx→a f (x) = λ en limx→a g(x) = b, dan limx→a f (x)g(x) = λb.
Lemma 1.28 (Quotientregel)
Laat f : Rn → R een functie, a ∈ Rn en λ ∈ R, λ 6= 0.
1
Als limx→a f (x) = λ, dan limx→a f (x) = λ1
Lemma 1.30
Laat f : Rn → Rm een functie zijn en a ∈ Rn en b ∈ Rm punten. Dan zijn de volgende beweringen equiva-
lent:
(a) limx→a f (x) = b;
(b) limx→a fi (x) = bi voor alle 1 ≤ i ≤ m
Lemma 1.32
Laat f : Rn → Rm en g : Rm → Rp functies zijn, en a ∈ Rn , b ∈ Rm en c ∈ Rp punten.
Als limx→a f (x) = b en limy→b g(y) = c dan limx→a g(f (x)) = c.
1.4 Limieten en ongelijkheden
Lemma 1.33
Laat D ⊂ Rn zijn en a een limietpunt van D. Laat f, g : D → R functies zijn en veronderstel dat
limx→a f (x) = b en limx→a g(x) = c met b, c ∈ R.
Als f (x) ≤ g(x) voor alle x ∈ D dan geldt ook: b ≤ c.
Opmerking: strikte ongelijkheden blijven niet altijd behouden. Neem als voorbeeld D =]0, ∞] en f (x) = 0,
g(x) = x.
Lemma 1.35 (Insluitstelling)
Laat D ⊂ Rn en f, g, h : D → R een drietal functies met f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) voor alle x ∈ D. Veronderstel
dat a ∈ Rn en dat er een λ ∈ R bestaat met limx→a f (x) = λ en limx→a h(x) = λ.
Dan geldt ook limx→a g(x) = λ.
1.5 Continuiteit
Definitie 1.38
Een functie f : Rn → Rm heeft continu in een punt a ∈ Rn als a ∈ Dom(f ) en bovendien: limx→a f (x) =
f (a).
De functie f heet continu op een verzameling A ∈ Rn als f continu is in elk punt a ∈ A. De functie f heeft
continu als hij continu is op Dom(f ).
2
, Lemma 1.41
Zij f = (f1 , ..., fm ) : Rn → Rm een functie en a ∈ Rn een punt. Dan zijn de volgende uitspraken gelijk-
waardig:
(a) De functie f is continu in a;
(b) Voor iedere 1 ≤ i ≤ m is de funcite fi continu in a.
Lemma 1.43
Laat f, g : Rn → Rm functies zijn en a ∈ Rn een punt. Als f en g continu zijn in a, dan is de somfunctie
f + g dat ook.
Lemma 1.44
Laat f : Rn → R en g : Rn → Rm functies zijn en a ∈ Rn een punt.
(a) Als f en g continu in a dan is f g dat ook.
(b) Als f continu is in a en bovendien geldt dat f (a) 6= 0, dan is ook de functie 1/f : x → 1/f (x) continu in a.
Lemma 1.45
Iedere rationele functie op Rn is continu op zijn domein.
Lemma 1.47
Laat f : Rn → Rm en g : Rm → Rp functies zijn.
(a) Is f continu in a en g continu in f (a), dan is de samenstelling g ◦ f continu in a.
(b) Zijn f en g continu op hun domein, dan is ook g ◦ f continu op zijn domein.
1.6 Toepassing: rekenregels voor differentieren
Veronderstel dat I ⊂ R een interval met meer dan één punt.
Definitie 1.49
Zij f : I → Rn en a ∈ I. De functie f heeft differentieerbaar in a als er een vector v ∈ Rn bestaat met:
f (x) − f (a)
limx→a =v
x−a
Lemma 1.53
Laat f : I → Rn differentieerbaar zijn in a. Dan is f continu in a.
Lemma 1.54
Zij f = (f1 , ..., fn ) : I → Rn een functie en a ∈ I. De functie f is differentieerbaar in a dan en slecht dan
als elke van de functies fi (1 ≤ i ≤ n) differentieerbaar is in a. Is f differentieerbaar in a dan geldt:
f 0 (a) = (f10 (a), ..., fn0 (a))
Lemma 1.55
Laat f, g : I → R differentieerbaar zijn in a ∈ I, zij λ ∈ R. Dan zijn ook de functies f + g, f g en λf
differentieerbaar in a. Voorts geldt:
(a) (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)
(b) (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
(c) (λf )0 (a) = λf 0 (a)
Is bovendien g(a) 6= 0 dan is ook de functie f /g differentieerbaar in a, en er geldt:
0 0
(a)g 0 (a)
(d) fg (a) = f (a)g(a)−f g(a)2
Stelling 1.56 (De kettingregel)
Zij f : I → R, a ∈ R, J ⊂ R een interval dat f (I) bevat en g : J → R. Als f en g differentieerbaar zijn in
a, resp. f (a), dan is g ◦ f differentieerbaar in a, met afgeleide:
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a)
3
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur RichardSchoonhoven. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour $5.05. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
72997 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 15 ans
Récemment vu par vous
