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Résumé Resume mathématique (PNFM1A1)
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cours sur les polynômes
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PolynômesLes polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Il permettent de faire une
étude algébrique des équations, comme les équations de degré 2 : ax2 + bx + c = 0, que vous savez déjà résoudre.
Avez-vous déjà vu une méthode de résolution des équations de degré 3 ? La résolution de telles équations a fait
l’objet de luttes acharnées dans l’Italie du X V I e siècle. Un concours était organisé avec un prix pour chacune de
trente équations de degré 3 à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et
résout les trente équations en une seule nuit ! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand
même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ».
Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des
polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec
un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec
les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.
Nous vous encourageons à compléter la lecture des différents cours de ce chapitre avec les références citées
dans les chapitres précédents disponibles à la Bibliothèque Universitaire. En fouillant dans les rayons de la BU,
vous trouverez d’autres références qui vous plairont peut-être encore plus.
Dans ce chapitre K désignera l’un des corps R ou C (on ne cherchera pas à savoir ce qu’est un corps ce
semestre mais les plus férus d’entre vous trouveront facilement un livre à la BU pour le découvrir).
1
, 2
Cours Magistral n°16
Pré-requis : Objectifs :
– maîtriser les opérations algébriques élémentaires – maîtriser les opérations sur les degrés
– savoir poser une division euclidienne – connaître la notion de divisibilité pour des
polynômes
– savoir effectuer une division euclidienne avec
des polynômes
1. Les polynômes et leur degré
Nous présentons la notion de polynôme et les définitions sous-jacentes, comme la notion de degré. Nous exposons
ensuite certaines propriétés utiles vérifiées par le degré.
Définition 1
Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme
P ( X ) = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ,
avec n ∈ N et a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ K. L’ensemble des polynômes est noté K[ X ].
• Les a i sont appelés les coefficients du polynôme.
• Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0.
• On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que a i 6= 0 ; on le note deg P . Pour le degré du
polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. On utilisent également les conventions suivantes :
– pour n ∈ N : −∞ < n
– pour n ∈ N : n + (−∞) = −∞
• Un polynôme de la forme P ( X ) = a 0 avec a 0 ∈ K est appelé un polynôme constant. Si a 0 6= 0, faites
attention : son degré est 0.
• Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients.
Remarque 1
S’il est certainement plus simple d’imaginer que X désigne un nombre de R ou C, il faut néanmoins savoir
que l’on peut substituer à X un autre polynôme, une matrice. . . Nous ne rentrerons pas dans ces détails mais
une fonction polynomiale ne désigne pas nécessairement un polynôme.
Exemple 1
• L’expression X 3 − 5 X + 34 est un polynôme de degré 3.
• L’expression X n + 1 est un polynôme de degré n.
• L’expression 2 est un polynôme constant, de degré 0.
L’ensemble des polynômes K[ X ] est muni d’une multiplication distributive basée sur la multiplication dans K et
sur la multiplication des puissances de X .
Définition 2
Soient n et m deux entiers. Nous définissons
X n × X m := X n + m .
Pp Pq
Soient P ( X ) = i =0
a i X i et Q ( X ) = j =0
b j X j deux polynômes de K[ X ]. Nous définissons le produit P × Q par
pX
+q k
c k X k , avec c k :=
X
(P × Q )( X ) := a m b k−m où a i = 0 si i > p et b j = 0 si j > q.
k=0 m=0
, 3
Exemple 2
La multiplication de P ( X ) = X 3 − 5 X + 3 par Q ( X ) = X 2 + 1 donne
(P × Q )( X ) = X 5 − 4 X 3 + 3 X 2 − 5 X + 3.
Proposition 1
Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K. Nous avons les relations suivantes :
deg(P × Q ) = deg P + deg Q
deg(P + Q ) É max(deg P, deg Q )
Démonstration
Proposition 2.
• L’ensemble des polynômes K[ X ] est intègre :
∀P, Q ∈ K[ X ], (PQ = 0 ⇔ P = 0 ou Q = 0).
• De façon équivalente : ∀P, Q, R ∈ K[ X ], (PQ = RQ ⇔ Q = 0 ou P = R ).
Remarque 2
y
Cette propriété n’est pourtant pas si banale. En effet, le produit
de deux fonctions quelconques peut être nul sans qu’aucune des
deux ne le soit.
1
Prenons les fonctions continues f , g : R → R définies par les for-
Cg Cf
mules :
0 1 x
f ( x) = x − | x| et g( x) = x + | x| .
Nous avons f g = 0 bien qu’aucune des deux fonctions f et g ne
soit nulle. Ce phénomène est impossible avec des fonctions poly-
nomiales définies sur R ou C ou avec des polynômes.
Définition 3
• Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type a k X k ) sont appelés monômes.
• Soit P ( X ) = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 1 X + a 0 , un polynôme avec a n 6= 0. On appelle terme dominant
le monôme a n X n . Le coefficient a n est appelé le coefficient dominant de P .
• Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire.
Exemple 3
Le polynôme P ( X ) = 3 X 7 + 6 X 4 − 8 X 3 + 2 X + 10 est une somme de 5 monômes. Son terme dominant est 3 X 7
et son coefficient dominant est 3.
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