- Tasa relativa de crecimiento.
- Ecuación diferencial para tasa relativa constante.
- Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
- Resolución mediante la exponencial de una matriz.
- Calculo de e^Dt cuando D es una matriz diagonal.
- Calculo de e^Dt cuando D es una matriz diagonalizable...
Tema 5. Ecuaciones diferenciales lineales.
P1. Tasa relativa de crecimiento.
Si x(t) representa alguna cantidad fisica como el volumen de una sustancia, la población de
ciertas especies, o el número de euros invertidos en acciones, su derivada x’(t) proporciona
la tasa de crecimiento. Con frecuencia es más interesante la llamada tasa relativa de
crecimiento definida por:
𝑥'(𝑡)
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑥(𝑡)
P2. Ecuación diferencial para tasa relativa constante.
Si la tasa relativa de crecimiento es constante, tenemos:
𝑥'(𝑡)
𝑎= 𝑥(𝑡)
→ 𝑥'(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)
Esta ecuación se denomina ecuación diferencial porque incluye una derivada. Trivialmente
𝑎𝑡
se comprueba que 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑒 son las soluciones de la ecuación diferencial dada. El valor
de c se calcula a partir de una condición inicial.
P3. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
Trabajaremos con sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:
Matricialmente nos queda como 𝑋'(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡), siendo:
P4. Resolución mediante la exponencial de una matriz.
𝐴
Definición. Dada una matriz cuadrada A, se define la matriz cuadrada del mismo tamaño 𝑒 ,
2 3 4 ∞ 𝑘
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴
como sigue: 𝑒 = 𝐼 + 𝐴 + 2!
+ 3!
+ 4!
+... = ∑ 𝑘!
𝑘=0
𝐴𝑡
Teorema. Para cualquier vector constante c, 𝑋(𝑡) = 𝑒 𝑐 es una solución de la ecuación
𝐴𝑡
𝑋'(𝑡) = 𝐴𝑋(𝑡). Además, 𝑋(𝑡) = 𝑒 𝑥0es una solución que verifica la condición inicial
𝑋(0) = 𝑥0.
𝐷𝑡
P5. Cálculo de 𝑒 cuando D es una matriz diagonal.
Teorema. Si D es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son 𝑑1,..., 𝑑𝑛entonces
𝐷𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑡
𝑒 es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal son 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 .
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