Sumario Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
2 views 0 purchase
Course
Álgebra Lineal (101)
Institution
Universidad De Málaga
- Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
- Propiedades de las operaciones de matrices.
- Tipos especiales de matrices cuadradas.
- Transformaciones elementales.
- Independencia y dependencia lineal.
- Rango de una matriz.
- Sistemas de ecuaciones lineales.
- Método de Gauss y de Gauss-...
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
1.1. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Llamamos 𝑀𝑚×𝑛(𝑅)al conjunto de las matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)donde los elementos 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅.
Podemos definir las siguientes operaciones de matrices:
Suma: 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)
Producto de un número real por una matriz: 𝑎 · 𝐴 = (𝑎 · 𝑎𝑖𝑗)
𝑛
Producto de Matrices: 𝐴𝐵 = ( ∑ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗) ∈ 𝑀𝑚×𝑝(𝑅)
𝑘=1
Tipos especiales de matrices cuadradas.
−1
Una matriz cuadrada 𝐴 de tamaño 𝑛 se llama inversible, si existe otra matriz 𝐴 tal que
−1 −1
𝐴𝐴 = 𝐴 𝐴 = 𝐼𝑛. Las matrices cuadradas que no tienen inversa se llaman singulares.
Matriz diagonal: 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Matriz escalar 𝐴 = λ · 𝐼𝑛
Matriz triangular inferior 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗
Matriz triangular superior 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗
𝑇
Matriz simétrica 𝐴 = 𝐴
𝑇
Matriz antisimétrica 𝐴 =− 𝐴
Matriz escalonada por filas.
Diremos que una matriz es escalonada por filas reducida si los elementos que están en la
misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros.
Transformaciones elementales.
Tipo I: Cambiar dos filas
Tipo II: Multiplicar una fila por una constante 𝑐 ≠ 0 𝑑𝑒 𝐾
Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada por 𝑐 ∈ 𝐾
Dos matrices 𝐴 y 𝐵 son equivalentes por filas si una de ellas se puede obtener a partir de
la otra mediante transformaciones elementales por filas.
, Independencia y dependencia lineal.
Llamamos combinación lineal de filas (o columnas) a una expresión de la forma
𝑎1𝑓1 + 𝑎2𝑓2 +... + 𝑎𝑘𝑓𝑘 donde los 𝑎𝑖 son elementos del cuerpo 𝐾.
Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una matriz son linealmente
independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal de las
restantes, en el caso contrario se dice que es linealmente dependiente.
Rango de una matriz.
Llamamos rango por filas de una matriz al número máximo de filas linealmente
independientes. Asimismo, llamamos rango por columnas al número máximo de columnas
linealmente independientes.
Teorema 1. El rango por filas de cualquier matriz coincide con su rango por columnas. A
dicho número le llamamos simplemente rango de la matriz.
Teorema 2. Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango.
Teorema 3. El rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas distintas de
cero.
Teorema 4. Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.
Corolario 1. Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si es equivalente por filas a la matriz
identidad.
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Método de Gauss y de Gauss-Jordan.
Teorema 5. Los sistemas 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑦 𝐵𝑥 = 𝑐 tienen las mismas soluciones si y sólo si sus
matrices ampliadas son equivalentes por filas.
Teorema de Rouché-Frobenius.
𝑚
Dado un sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏, donde 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(𝐾) y 𝑏 ∈ 𝐾 , representamos por
(𝐴|𝑏) la matriz ampliada obtenida añadiendo a la matriz 𝐴 la columna formada por los
elementos de 𝑏. Siendo 𝑛 el número de incógnitas, se tiene que:
- Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)el sistema es incompatible.
- Si 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) y
- 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑛, el sistema es compatible determinado.
- 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 < 𝑛, el sistema es compatible indeterminado.
1.2. Espacios vectoriales.
Definición 1. Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo 𝐾 a un conjunto 𝑉 con dos
operaciones suma (+)(interna) y un producto (·)(externa) que verifican:
1. + verifica las siguientes operaciones:
a. (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
b. 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣
c. 𝑣 + (− 𝑣) = (− 𝑣) + 𝑣 = 0
d. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
2. · verifica:
a. λ(𝑣 + 𝑤) = λ𝑣 + λ𝑤
b. (λ + µ) 𝑣 = λ𝑣 + µ𝑣
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller merche2002. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.34. You're not tied to anything after your purchase.
