Rekenen Verhoudingen, Procenten, Breuken En Kommagetallen
All documents for this subject (7)
Seller
Follow
saraderuiter
Content preview
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er verschillend uit, maar drukken
hetzelfde uit. Ook kunnen ze onderling hetzelfde betekenen.
1.1.1 overeenkomsten en verschillen
Er zijn een aantal overeenkomsten tussen de (sub)domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten, maar er zijn
ook verschillen tussen de domeinen. In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar
heen. Vaak geven getallen getalsmatige informatie.
1.1.2 absoluut en relatief
Getallen kunnen een absoluut of relatieve gegeven weergeven. Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is
het onderscheiden van relatief en absoluut van groot belang. Zonder begrip kun je namelijk veel informatie uit bijvoorbeeld
een krantenbericht niet goed begrijpen. Om kinderen grip te laten krijgen over absolute en relatieve gegevens moet je dit
inzichtelijk aanbieden. Dit kan door een strookmodel. Je kan daarbij goed de verschillen laten zien van relatieve gegevens.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar heen gaan halen is het belangrijk om de getallen die je
benoemd te noteren. Dit helpt om duidelijk onderscheid te maken tussen relatief en absoluut.
1.2 onderlinge relaties
Kinderen moeten grip krijgen op de verschillende subdomeinen om te kunnen redeneren met vpbk.
1.2.1 begrip
Door onderlinge relaties te leren, kunnen de kinderen grip krijgen op de subdomeinen en kunnen kinderen beter de
sommen beredeneren. Het blijft wel goed om te visualiseren bij deze sommen.
Breuken en kommagetallen
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen. Het zijn beide gebroken getallen, maar het wordt
anders genoteerd. Wiskundig gezien zijn hele getallen, breuken en kommagetallen rationele getallen. In de realiteit is de
verschijningsvorm van breuken en kommagetallen bij meetgetallen. Kinderen halen nog weleens breuken met de juiste
kommagetallen door elkaar heen. Een strookmodel kan daarbij helpen voor het juiste inzicht.
Van breuk naar kommagetal
Breuken zijn heel bijzonder als je deze om wil zetten naar een kommagetal. Er zijn breuken die op 2 of 3 decimalen
uitkomen. Maar er zijn ook repeterende breuken.
Van kommagetal naar breuk
Je kan ook van een kommagetal naar een breuk gaan. Dit is wel lastiger. Schrijf het getal als tiendelige breuk en
vereenvoudig deze tot het kleinst mogelijke breuk.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.
Een breuk kan relatief en absoluut zijn. Een percentage geeft daarin tegen altijd een operator aan.
1.2.2 weetjes
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Sommige weetjes zijn al lang
bekend, andere moeten worden ingeoefend in de bovenbouw.
2.1 verhoudingen zijn overal
In ons dagelijks leven, van jongs af aan komen we dagelijks in aanraking met verhoudingen. We redeneren ook vaak met
verhoudingen in het dagelijks leven.
2.1.1 evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen 2 of meer getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Ook kijk je in
het dagelijks leven vaak naar iets dat in verhouding staat. Er wordt dan in een bepaalde eenheid vergeleken met inhouden.
Als iets stijgt volgens een verhouding, stijgt iets naar rato. Er zijn veel verschillende verschijningsvormen voor
verhoudingen. Ook kan een verhouding in schaal worden aangegeven. Een percentage is een gestandaardiseerde
verhouding. Er kan ook een wanverhouding zijn, hierbij wordt informatie over een probleem onder de aandacht gebracht.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen zijn verhoudingen die worden uitgedrukt in 1 of meerdere getallen. Een kwalitatieve
verhouding is een verhouding waarbij geen getallen worden gebruikt, ze worden uitgedrukt in woorden. Een kwalitatieve
verhouding is vaak een meetkundig verband.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal aan kan worden
toegekend. Je kan interne en externe verhoudingen hebben.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij delen kan een onderscheid worden gemaakt tussen een verhoudingsdeling en verdelingsdeling.
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat die grafiek door de
oorsprong, dan is het verband een evenredig verband of een verhouding.
, 2.1.2 niet-evenredige verbanden
Er kan ook een niet-evenredig verband zijn, er is dan ook geen verhouding. Het kan zijn dat het lijkt op een verhouding,
maar redeneren gaat dan fout. Er zijn ook omgekeerde evenredige verbanden.
2.1.3 bijzondere verhoudingen
Gulden snede
De gulden snede is een verhouding uit de 17de eeuw die staat voor een schoonheidsideaal.
De verhouding pi
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. Het verhoudingsgetal hiervan wordt pi genoemd. Pi
heeft een oneinige aantal aan getallen en wordt daarom gezien als irrationele getallen.
2.1.4 wiskundetaal bi verhoudingen
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met woorden en getallen. Je kan dit op verschillende manieren worden
uitgesproken. Het is een eigen verhoudingentaal. Breuken kunnen ook een verhouding aan geven. Het leren van de meer
formele wiskundetaal bij verhoudingen krijgt op de basisschool speciale aandacht.
2.2 verhoudingen op de basisschool
Op de basisschool worden verhoudingen gebruikt voor vergroten en verkleinen, maar ook voor meten en meetkunde.
2.2.1 schets van de leerlijn verhoudingen
Informeel handelen en redeneren
De ontwikkeling van begrip voor verhoudingen start bij de kleuters. Het gaat bij de kleuters om de kwalitatieve verhouding
van voorwerpen. Vanaf groep 3 wordt er aan de hand van context vergeleken met kwantitatieve of getalsmatige
verhoudingen. Zie blz. 42 voor schets leerlijn.
Modelondersteunend redeneren en rekenen in contextsituaties
Vanaf groep 4 komen verhoudingen impliciet aanbod bij allerlei verdeelsituaties. Vaak met vermenigvuldigingen kunnen
deze dan worden opgelost. Verhoudingen worden alleen aangeboden in een betekenisvol perspectief. Het gaat erom dat
toepassingssituaties met verhoudingen gebruikt worden die in het dagelijks leven voor kunnen komen.
Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden tot en met groep 8 vooral in toepassingssituaties aangeboden. Het rekenen en redeneren kan ook
formeel zijn wanneer deze wordt opgeschreven in een verhoudingstabel. Naast de tabel kan er ook gebruik worden
gemaakt van de dubbele getallenlijn, strook en schaallijn. De getallen die worden gebruikt, worden ook steeds complexer.
Formeel verhoudingsgewijs redeneren wordt ook toegepast bij rekenen met behulp van analogieën.
2.2.2 modellen bij verhoudingen
Dubbele getallenlijn
Een dubbele getallenlijn kan worden gebruikt om getallen op te ordenen en te positioneren. Het verschil in de
getallenlijnen is dat er in de dubbele getallenlijn het verband tussen 2 zaken wordt weergegeven. Dit model is een
denkmodel. Het ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is welke bewerking moet worden uitgevoerd. De dubbele
getallenlijn kan ook worden gebruikt om greep te krijgen op het evenredige karakter van verhoudingen.
De verhoudingstabel
De verhoudingstabel is veel abstracter dan de dubbele getallenlijn, doordat de onderlinge afstand van getallen niet
gerepresenteerd worden. Het is wel een van de meest gebruikte modellen vanaf groep 4. Het helpt bij het aanleren van de
tafels. In het gebruik van verhoudingstabellen zit een opbouw. Aanvankelijk worden getallen in volgorde gezet. Vervolgens
worden de getallen in een volgorde gezet waarmee bepaalde strategieën of rekenstappen worden uitgelokt. Pas als
kinderen hebben geleerd hoe je kunt rekenen in een verhoudingstabel, krijgen ze opgaven waarbij ze zelf de rekenstap
moeten bepalen. Na verloop van tijd gebruiken ze de verhoudingstabel ook voor het rekenen met grotere getallen,
breuken, kommagetallen en procenten. Er kan gebruik worden gemaakt van alle basisbewerkingen, maar dit kan
onduidelijk zijn voor de leerlingen, waarom je iets wel en niet mag gebruiken. Als het onderwijsleerproces zorgvuldig wordt
opgebouwd, gaat de verhoudingsmodel als denkmodel.
Kruislings vermenigvuldigen
In het middelbaar onderwijs wordt vooral het kruislings vermenigvuldigen toegepast op verhoudingstabellen. Kruislings
vermenigvuldigen houdt in dat bij gelijkwaardige breuken de teller van de ene breuk met de noemer van de andere wordt
vermenigvuldigd en andersom. Dit kan dus ook in de verhoudingstabellen.
Schaal en schaallijn
Afbeeldingen naar verhouding komen in de onderbouw al aan de orde. In de midden- en bovenbouw wordt deze steeds
formeler. De kinderen leren eerst te schatten aan de hand van referentiematen. Vervolgens leren ze schaalbegrip en
rekenen met schaal. Schaalopgaven kunnen al voorkomen vanaf groep 4. In de meeste rekenen-wiskunde methodes wordt
er gewerkt met schaallijnen. Een belangrijke stap is het vergelijken van kaarten met verschillende schalen.
2.2.3 redeneren en rekenen met verhoudingen
Snelheid
Snelheid is een samengestelde grootheid. Deze geeft de verhouding tussen tijd en afstand aan. Op de basisschool komt
deze al nadrukkelijk naar voren in de opdrachten. Vaak wordt er met schaal gerekend om afstanden uit te rekenen en de
tijd die iemand over de afstand zou doen.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller saraderuiter. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.96. You're not tied to anything after your purchase.
